matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > Tangens
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Tangens
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Tangens

Definition Tangens und Tangensfunktion


Schule


Definition am rechtwinkligen Dreieck

Betrachtet man das unten stehende rechtwinklige Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C (Bild1),
so gelten folgende Beziehungen:


{picture file=img/wiki_up//RechtwinkligesDreieck.jpg}

Dabei nennt man die Strecke $ \overline{AC} $ die Ankathete zum Winkel $ \alpha $
und die Strecke $ \overline{BC} $ die Gegenkathete zum Winkel $ \alpha $.


$ \sin \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Hypotenuse}} $ ; $ \cos \alpha = \bruch{\mbox{Ankathete}}{\mbox{Hypotenuse}} $ ; $ \tan \alpha = \bruch{\mbox{Gegenkathete}}{\mbox{Ankathete}} = \bruch{\sin \alpha}{\cos \alpha} $

{picture file=img/wiki_up//Einheitskreis.png}

Den tan-Wert liest man ab, indem man am Einheitskreis den Winkel abträgt und diese schräge Strecke verlängerst bis zu der vertikalen Gerade bei x = 1.
Die Länge dieser vertikalen Strecke (grüne Strecke) ist der tan-Wert.

Der tan-Wert ist einheitenfrei, d.h. ohne Einheit (so wie sin und cos auch).
Lediglich der Winkel $ \alpha $ wird i.a. im Gradmaß und  x  im Bogenmaß angegeben.

weitere Überlegungen zu Sinus- und Kosinusfunktion

Aus der Definition des Tangens ergibt sich unmittelbar die zugehörige Funktion, bei der x im Bogenmaß angegeben wird:

$ \tan(x) = \bruch{\sin (x)}{\cos (x)} $


{picture file=img/wiki_up//tangens.jpg}

Ebenso ergeben sich die weiteren Eigenschaften der Tangensfunktion:

  • die Tangensfunktion ist an den Nullstellen der Kosinusfunktion nicht definiert:
  • Wertebereich: alle reellen Zahlen $ \IR $
  • die Tangensfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge $ \pi $.
  • die Tangensfunktion ist über den gesamten Definitionsbereich betrachtet nicht symmetrisch,
    • wohl aber, wenn man sich auf ein Intervall zwischen zwei Unstetigkeitsstellen einschränkt,
    • dann ist sie punktsymmetrisch zu ihrer Nullstelle, insbesondere über dem Intervall $ [-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2}] $ symmetrisch zum Ursprung.

Ableitung der Tangensfunktion
ergibt sich aus der Definition $ f(x) = \tan(x) = \bruch{\sin (x)}{\cos (x)} $ mit Hilfe der Quotientenregel:

$ f'(x) = \left(\bruch{\cos (x)}{\sin(x)}\right)'= \bruch{\cos (x)\cdot{}\cos (x)-(-\sin(x))\cdot{}\sin(x)}{\cos^2 (x)} = 1 + \tan^2(x) = \bruch{1}{\cos^2 (x)} $

Stammfunktion der Tangensfunktion

$ \integral {\tan(x) dx} = - \ln(\cos(x)) + C $



Universität


Definition/Darstellung als Potenzreihe

Für $ x\in\IC $ (insbesondere für $ x\in\IR $) ist definiert (Taylorreihe des Tangens):
$ \tan(x)=x+\frac{1}{3} x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\cdots $

Bild1 Rechtwinkliges Dreieck aus [link]Wikipedia
weitere Überlegungen zu Sinus- und Kosinusfunktion

Erstellt: Mo 17.01.2005 von informix
Letzte Änderung: Sa 27.01.2007 um 17:36 von Marc
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]