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Formeln_Finanzmathematik

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Formeln Finanzmathematik

Inhalt:

Barwerte, Zeitrenten, Leibrenten

Nachschüssige Rentenzahlungen
Kapitalabfindung einer Zeitrente
Zeitrente anstelle eines Kapitalbetrages
Kapitalaufbau und -verzehr (Sparkassenformel)
Barwert einer ewigen Zahlung
Laufzeit einer Rente durch Kapitalentnahme
Verdopplungszeiten
Arithmetisch fortschreitende Renten
Geometrisch fortschreitende Renten
Veränderliche Renten mit ewiger Laufzeit

Sparen und Renditen

Endguthaben regelmäßiger Einzahlungen
Rendite von Festgeldern
Realzins (inflationsbereinigter Zinsfuß)

Tilgungsrechnung

Annuitätentilgung
Restschuld
Tilgungsrate
Zinszahlung
Tilgungsdauer

Nachschüssige, jährliche Rentenzahlung

$R_n = r\cdot{}\bruch{q^n -1}{q-1}$

Beispiel:
Jemand zahlt 5 Jahre lang am Ende jeden Jahres 100 auf ein Sparkonto, auf dem das Kapital zu 10 % Zinseszinsen angesammelt wird. Über welchen Betrag wird der Sparer am Ende des 5. Jahres verfügen?

$R_5 = 100\cdot{}\bruch{(1{,}10)^5 -1}{1{,}10 -1}$

$R_5 = 610{,}51$

Quelle: NWB-Studienbücher, Finanzmathematik, Kobelt/Schulte

Nachschüssige, jährliche Rentenbarwert:

$R_0 = r\cdot{}\bruch{q^n -1}{q-1}\cdot{}\bruch{1}{q^n}$

Beispiel:
Jemand erhält 5 Jahre lang nachschüssig je 100 , die er zinseszinslich zu 10 % ansammeln will. Er möchte aber bereits heute über den Gesamtwert der Rente abzüglich zu zahlender Zinsen verfügen. Welchen Wert hat die Rente zu Beginn des Rentenvorgangs? Wie groß ist mit anderen Worten der Rentenbarwert?

$R_0 = 100\cdot{}\bruch{(1{,}10)^5 -1}{1{,}10-1}\cdot{}\bruch{1}{(1{,}10)^5}$

$R_0 = 379{,}08$

Quelle: NWB-Studienbücher, Finanzmathematik, Kobelt/Schulte

Kapitalabfindung einer Zeitrente

Nachschüssige Rentenbarwertformel:

$R_0 = r\cdot{}\bruch{q^{n}-1}{q-1}\cdot{}\bruch{1}{q^n}$

Beispiel:
Jemand erhält 5 Jahre lang nachschüssig je 100 Euro, die er zinseszinslich zu 10 % ansammeln will. Er möchte aber bereits heute über den Gesamtwert der Rente abzüglich zu zahlender Zinsen verfügen. Welchen Wert hat die Rente zu Beginn des Rentenvorgangs? Wie groß ist mit anderen Worten der Rentenbarwert?

$R_0 = 100\cdot{}\bruch{(1{,}1)^5-1}{1{,}1-1}\cdot{}\bruch{1}{(1{,}1)^5}$

$R_0 = 379{,}08$

Quelle: NWB-Studienbücher, Finanzmathematik, Kobelt/Schulte

Vorschüssige Rentenbarwertformel:

$R_0 = r\cdot{}\bruch{q^n -1}{q-1}\cdot{}\bruch{1}{q^{n-1}}$

Beispiel:
Ein Unternehmer benötigt für 5 Jahre einen Lagerplatz, der eine jährlichvorschüssige Pacht von je 10.000 kostet. Durch welche einmalige Zahlung zu Beginn des Pachtverhältnisses könnte die gesamte Pachtverpflichtung für den gesamten Zeitraum abgelöst werden, wenn mit 8 % Jahreszinsen kalkuliert wird?

$R_0 = 10.000\cdot{}\bruch{(1{,}08)^5 -1}{1{,}08-1}\cdot{}\bruch{1}{(1{,}08)^4}$

$R_0 = 43.121{,}27$

Quelle: NWB-Studienbücher, Finanzmathematik, Kobelt/Schulte

Zeitrente anstelle eines Kapitalbetrages

bei gegebenem Rentenendwert (nachschüssig):

$r = R_n\cdot{}\bruch{q-1}{q^{n}-1}$

Beispiel:
Ein Sparer beschließt an seinem 18. Geburtstag, dass er an seinem 65. Geburtstag 1.000.000 Euro durch jährlich-nachschüssige Raten bei 6 % Zinsen zusammengespart haben will. Er will wissen, wie hoch die Jahresraten sein müssen, um das gesteckte Ziel zu erreichen.

$r = 1.000.000\cdot{}\bruch{1{,}06-1}{(1{,}06)^{47}-1}$

Quelle: NWB-Studienbücher, Finanzmathematik, Kobelt/Schulte

bei gegebenem Rentenbarwert (nachschüssig):

$r = R_0 \cdot{}q^n \cdot{}\bruch{q-1}{q^n -1}$

Beispiel:
Ein Student erhält zu Beginn seines Studiums von seinem Patenonkel eine Schenkung von 24.000 . Der Student möchte sein genau 5-jähriges Studium von diesem Geld finanzieren. Welchen konstanten Betrag kann er jährlich nachschüssig bei 6 % Zinsen von der Bank abheben, damit das Geld genau 5 Jahre reicht?

$r = 24.000\cdot{}(1{,}05)^5 \cdot{}\bruch{1{,}06 -1}{(1{,}06)^5 -1}$

r = 5.697,51

Quelle: NWB-Studienbücher, Finanzmathematik, Kobelt/Schulte

Kapitalaufbau und -verzehr (Sparkassenformel)

Kapitalaufbau (nachschüssige Zahlungen):

$K_n = K_0 \cdot{} q^n + r\cdot{}\bruch{q^n -1}{q-1}$

Beispiel:
Ein wohlhabender Patenonkel gibt seinem Patenkind als Taufgeschenk ein Sparbuch mit 5.000 (Einzahlung am Geburtstag). Darüber hinaus zahlt er an jedem weiteren Geburtstag 500 auf das Konto ein. Über welches Guthaben kann das Patenkind nach seinem 18. Geburtstag verfügen (6 % Verzinsung)? Die Einzahlungen sind nachschüssig!

$K_{18} = 5.000\cdot{}(1{,}06)^{18} + 500\cdot{}\bruch{(1{,}06)^{18}-1}{1{,}06-1}$

$K_{18} = 29.724{,}53 $

Quelle: Mathematik, Weltbildverlag

Kapitalverzehr (vorschüssige Zahlungen):

$K_n = K_0 \cdot{}q^n - r\cdot{}q\cdot{}\bruch{q^n -1}{q-1}$

Beispiel:
Ein Kaufmann verkauft sein Geschäft an seinem 65. Geburtstag und erhält dafür 500.000 . Dieses Kapital legt er an seinem 66. Geburtstag zu 5,75 % an und hebt davon jährlich 24.000 vorschüssig ab, zuerst an seinem 66. Geburtstag. Wie hoch ist der Kontostand kurz vor seinem 80. Geburtstag?

$K_n = 500.000\cdot{}(1{,}0575)^{14} - 24.000\cdot{}1{,}0575\cdot{}\bruch{(1{,}0575)^{14}-1}{1{,}0575-1}$

$K_n = 569.591{,}11 $

Quelle: Mathematik, Weltbildverlag

Barwert einer ewigen Zahlung

Der Barwert einer ewigen jährlich nachschüssig zahlbaren Rente beträgt:

$R_0 = \bruch{r}{i}$

Der Barwert einer jährlichen ewigen Rente mit vorschüssigen Zahlungen beträgt:

$R_0 =\bruch{rq}{i}$

Beispiel:
Die Erbpacht für ein Grundstück ist auf 1.000 Euro pro Jahr festgelegt. Der Vertrag soll "für immer und ewig laufen". Welcher Wert ist dem Grundstück bei 4 % p.a. beizumessen, wenn die Erbpacht entweder a) am Jahresende oder b) am Jahresanfang fällig wird?

a)
$R_0 = \bruch{1.000}{0{,}04}$

b)
$R_0 = \bruch{1.000\cdot{}1{,}04}{0{,}04}$

Quelle: Mathematik in Wirtschaft und Finanzwesen, Wolfgang Preuß-Günter Wenisch, Fachbuchverlag Leipzig

Laufzeit einer Rente durch Kapitalentnahme

Ist der Zinssatz i, die jährliche Rente r und der Rentenbarwert gegeben, so kann die Laufzeit nach folgender Formel berechnet werden:

$n = -\bruch{\lg(1-\bruch{R_0}{r}i)}{\lg(1+i)}$

Beispiel:
Wie lange reicht ein Kapital von 10.000 Euro, wenn Sie bei 5 % Zins am Ende jeden Jahres 1.000 Euro entnehmen?

$n = -\bruch{\lg(1-\bruch{10.000}{1.000}\cdot{}0{,}05)}{\lg(1{,}05)}$

Jahre

Quelle: Mathematik in Wirtschaft und Finanzwesen, Wolfgang Preuß-Günter Wenisch, Fachbuchverlag Leipzig

Endguthaben regelmäßiger Einzahlungen

Nachschüssige Rentenendwertformel:

$R_n = r\cdot{}\bruch{q^{n}-1}{q-1}$

Beispiel:
Jemand zahlt 5 Jahre lang am Ende jeden Jahres 100 Euro auf ein Sparkonto, auf dem das Kapital zu 10 % Zinseszins angesammelt wird. Über welchen Betrag wird der Sparer am Ende des 5. Jahres verfügen?

$R_n = 100\cdot{}\bruch{(1{,}1)^{5}-1}{1{,}1-1}$

$R_n = 610{,}51$

Quelle: NWB-Studienbücher, Finanzmathematik, Kobelt/Schulte

Realzins (inflationsbereinigter Zinsfuß)

$p_r = (\bruch{1+i_{nom}}{1+i_{infl}}-1)\cdot{}100$

Beispiel:
Jemand legt 10.000 fünf Jahre zu 5 % an. die Inflationsrate beträgt 4 % jährlich.
a) Berechne die reale Verzinsung.
b) Berechne das reale (= inflationsbereinigte) Endkapital nach 5 Jahren.

$a) p_r = (\bruch{1,05}{1,04}-1)\cdot{}100 = 0,96$

$b) K_5 = 10.000\cdot{}\bruch{1,05}{1,04}^5 = 10.490,10 $

Quelle: Finanzmathematik, Ihrig-Pflaumer, Oldenburg

Vorschüssige Rentenendwertformel:

$R_n = r\cdot{}q\cdot{}\bruch{q^n -1}{q-1}$

Beispiel:
Jemand zahlt jährlich-vorschüssig 12 Jahre lang 624 bei einer Bank ein, die die Einlagen mit 8 % verzinst. Auf welchem Betrag ist das Kapital nach Ablauf der 12 Jahre angewachsen?

$R_n = 624\cdot{}1{,}08\cdot{}\bruch{(1{,}08)^{12}-1}{1{,}08-1}$

$R_n = 12.789{,}07$

Quelle: NWB-Studienbücher, Finanzmathematik, Kobelt/Schulte

Verdopplungszeiten

$n = \bruch{\ln (2)}{\ln (q)}$

Beispiel:
In wie vielen Jahren verdoppelt sich ein Kapital bei einer Verzinsung von 5 %?

$n = \bruch{\ln (2)}{\ln (1{,}05)}$

Jahre

Faustformel für Verdopplungszeiten:

$\text{Verdopplungszeit } = \bruch{70}{p}$

Beispiel für Faustformel:

$\bruch{70}{5} = 14 \text{ Jahre}$

Quelle: Finanzmathematik, Ihrig-Pflaumer, Oldenburg

Verdopplungszeiten bei vierteljährlicher Verzinsung:

Beispiel:
Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich ein Kapital, falls die Verzinsung vierteljährlich mit 1,5 % erfolgt?

$2 = (1{,}015)^{m\cdot{}n}$

bzw.

$2 = (1{,}015)^{4\cdot{}n}$

$n = \bruch{1}{4}\bruch{\ln(2)}{\ln(1{,}015)}$

Jahre

Quelle: Finanzmathematik, Ihrig-Pflaumer, Oldenburg

Endwert einer arithmetisch fortschreitenden Rente

$R_n = r\cdot{}\bruch{q^n -1}{i} + \bruch{d}{i}\cdot{}(\bruch{q^n -1}{i}-n)$

Beispiel:
Am Jahresende werden 1.000 auf ein Konto zu 5 % p.a. Verzinsung eingezahlt. Ferner werden am Ende jedes folgenden Jahres ein Betrag, der jeweils 300 über den Vorjahreswert liegt, eingezahlt. Wie groß ist das Kapital nach 7 Jahren?

$R_7 = 1.000\cdot{}\bruch{1{,}05^7 -1}{0{,}05}+\bruch{300}{0{,}05}\cdot{}(\bruch{1{,}05^7 -1}{0{,}05}-7)$

$R_7 = 14.994{,}06$

Quelle: Finanzmathematik, Lutz Kruschwitz, Verlag Vahlen

Barwert einer arithmetisch fortschreitenden Rente

$R_0 = r\cdot{}\bruch{q^n -1}{iq^n}+\bruch{d}{i}\cdot{}(\bruch{q^n -1}{iq^n}-nq^{-n})$

Beispiel:
Anna ist verpflichtet, fünf Jahre lang eine Rente zu zahlen, die mit 8.000 beginnt und jährlich um 750 wächst. Wie viel Kapital muss sie bereitstellen, wenn der Zinssatz bei 6 % liegt?

$R_0 = 8.000\cdot{}\bruch{1,06^5 -1}{0,06\cdot{}1,06^5}+\bruch{750}{0,06}\cdot{}(\bruch{1,06^5 -1}{0,06\cdot{}1,06^5}-\bruch{5}{1,06^5})$

Quelle: Finanzmathematik, Lutz Kruschwitz, Verlag Vahlen

Endwert einer geometrisch fortschreitenden Rente

$R_n = r\cdot{}\bruch{q^n -g^n}{q-g}$

wenn $q \not= g$

Beispiel:
Anna zahlt nachschüssig eine jährlich um 10 % steigende Rente auf ein Konto, das mit 4 % verzinst wird. Man berechne das Kapital am Ende des vierten Jahres, wenn die erste Zahlung 1.000 beträgt.

$R_4 = 1.000\cdot{}\bruch{1,04^4 - 1,1^4}{1,04 - 1,1}$

wenn (q = g) dann gilt:

$R_n = rnq^{n-1}$

Quelle: Finanzmathematik, Lutz Kruschwitz, Verlag Vahlen

Barwert einer geometrisch fortschreitenden Rente

$R_0 = r\cdot{}\bruch{q^n -g^n}{(q-g)\cdot{}q^n}$

wenn $q \not= g$

Beispiel:
Karl hat drei Jahre lang eine Rente zu zahlen, die mit einem Betrag von 7.000 beginnt und jährlich um 5 % steigt. Wie viel Kapital muss Karl heute aufbieten, wenn der Zins 10 % p.a. ist?

$R_0 = 7.000\cdot{}\bruch{1,1^3 - 1,05^3}{(1,1 - 1,05)\cdot{}1,1^3}$

Wenn (q = g), dann gilt:

$R_0 = \bruch{rn}{q}$

Quelle: Finanzmathematik, Lutz Kruschwitz, Verlag Vahlen

Arithmetisch fortschreitende Renten mit ewiger Laufzeit

$R_0 = (r+\bruch{d}{1})\cdot{}\bruch{1}{i}$

Beispiel:
Karl hat Anspruch auf eine jährliche ewige Rente, die sich im ersten Jahr auf 500 beläuft und anschließend in jedem Jahr um 20 steigen soll. Welchen Barwert hat diese Rente, wenn Karl mit einem Zinssatz von 8 % rechnet?

$R_0 = (500+\bruch{20}{0,08})\cdot{}\bruch{1}{0,08}$

Quelle: Finanzmathematik, Lutz Kruschwitz, Verlag Vahlen

Geometrisch fortschreitende Renten mit ewiger Laufzeit

$R_0 = \bruch{r}{i-w}$

Beispiel:
Otto hat die Absicht ein Unternehmen zu kaufen, dessen Gewinn im kommenden Jahr auf 450.000 geschätzt wird. Er hat Grund zu der Annahme, dass dieser Gewinn jährlich um 2 % steigen wird und das Unternehmen ewig existieren wird. Welchen Preis sollte er höchstens für das Unternehmen zahlen, wenn der Marktzins zur Zeit 11 % beträgt?

$R_0 = \bruch{450.000}{0,11-0,02}$

Quelle: Finanzmathematik, Lutz Kruschwitz, Verlag Vahlen

Rendite von Festgeldern

$i = \wurzel[n]{\bruch{K_n}{K_0}}-1 = \wurzel[n]{(1+i_1)\cdot{}(1+i_2)\ldots(1+i_n)}-1$

Beispiel:
Beim Bundesschatzbrief Typ B (Ausgabe 1994/12, Zinslauf ab 1.11.1994) gibt es im ersten Jahr 5 %, im zweiten 6,5 %, im dritten 7,5 %, im vierten und im fünften Jahr 8 %, im sechsten und im siebten Jahr 8,25 %. Die Zinsen werden dem Kapital jährlich zugerechnet und mitverzinst. Nach sieben Jahren ist das Endkapital bei einer Einzahlung (=Anfangskapital) von 100 DM:

$K_7 = 100\cdot{}1{,}05\cdot{}1{,}065\cdot{}1{,}075\cdot{}1{,}08\cdot{}1{,}08\cdot{}1{,}0825\cdot{}1{,}0825 = 164{,}30$

Die Rendite beträgt:

$\wurzel[7]{(1+0{,}05)\cdot{}(1+0{,}065) \ldots (1+0{,}0825)}-1 = 7{,}351 \%$ .

Fundstelle: www.matheraum.de/read?t=29895
Quelle: Mathematik in Wirtschaft und Finazwesen, Wolfgang Preuß-Günter Wenisch, Fachbuchverlag Leipzig

Annuitätentilgung

$A=K_0 \cdot{}\bruch{q^n \cdot{}i}^{q^n -1}$

Beispiel:
Ein Darlehen in Höhe von 1.000.000 soll mittels gleichbleibender Annuität zu 4 % verzinst und innerhalb der nächsten fünf Jahre getilgt werden. Welcher Betrag muss jährlich zurückgezahlt werden?

$A = 1.000.000\cdot{}\bruch{1{,}04^5 \cdot{}0{,}04}{1{,}04^5 -1}$

A = 224.627,00

Quelle: Finanzmathematik, Ihrig-Pflaumer, Oldenburg

Restschuld nach t Jahren bzw. am Anfang des t. Jahres

$R_t = S\cdot{}\bruch{q^n - q^t}{q^n -1}$

Beispiel:
Ein Unternehmer hat Kredit in Höhe von 1.000.000 zum Zinssatz von 7,5 % bei einer Laufzeit von 6 Jahren aufgenommen, der annuitätisch getilgt werden soll. Wie hoch ist die Restschuld nach 4 Jahren?

$R_4 = 1.000.000\cdot{}\bruch{1{,}075^6 - 1{,}075^4}{1{,}075^6 -1}$

$R_4 = 382.535{,}99 $

Quelle: Finanzmathematik, Lutz Kruschwitz, Verlag Vahlen

Tilgungsrate im t. Jahr

$T_t = S\cdot{}i\cdot{}\bruch{q^{t-1}}{q^n -1}$

Beispiel:
Ein Unternehmer hat Kredit in Höhe von 1.000.000 zum Zinssatz von 7,5 % bei einer Laufzeit von 6 Jahren aufgenommen,der annuitätisch getilgt werden soll. Wie hoch ist die sechste Tilgungsrate?

$T_6 = 1.000.000\cdot{}0,075\cdot{}\bruch{(1{,}075)^{6-1}}{(1{,}075)^6 -1}$

$T_6 = 198.181{,}29 $

Quelle: Finanzmathematik, Lutz Kruschwitz, Verlag Vahlen

Zinszahlung im t. Jahr

$Z_t = S\cdot{}i\cdot{}\bruch{q^n - q^{t-1}}{q^n -1}$

Beispiel:
Ein Entwicklungsland erhält am 1.1. eines Jahres einen Kredit in Höhe von 10 Millionen zu 2,5 % Zinsen. Dieser Kredit soll durch Annuitätentilgung in 25 Jahren zurückgezahlt werden. Wie hoch ist die Zinszahlung im 13. Jahr?

$Z_{13} = 10.000.000\cdot{}0{,}025\cdot{}\bruch{(1{,}025)^{25} - (1{,}025)^{13-1}}{(1{,}025)^{25}-1}$

$Z_{13} = 149.303{,}62 $

Quelle: NWB-Studienbücher, Finanzmathematik, Kobelt/Schulte

Tilgungsdauer

$n = \bruch{\ln(A) - \ln(T_1)}{\ln(q)}$

Beispiel:
Eine Anleihe von 1.000.000 soll mit 4 % p.a. verzinst und mittels einer gleichbleibenden Annuität von 224.627 getilgt werden. Wie groß ist die Tilgungsdauer?

Da = 40.000 und A = 224.627 ist, folgt = 184.627 .

$n = \bruch{\ln(224.627) - \ln(184.627)}{\ln(1{,}04)}$

n = 5 Jahre

Quelle: Finanzmathematik, Ihrig-Pflaumer, Oldenburg

Erstellt: Do 22.05.2008 von Marc

Letzte Änderung: Mi 17.06.2009 um 07:05 von Josef

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