symmetrische Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Wir haben da im Skript so ein Beispiel stehen was mir nicht ganz einleuchtet:
Die symmetrische Gruppe auf M ist eine abelsche Gruppe,aber nur falls M mehr als 2 Elemente hat.
[mm] S_{M}
[/mm]
Ich hab ja schon mal gefragt was eine symmetrische Gruppe überhaupt ist:
[mm] \summe_{n} [/mm] := { [mm] \mu: [/mm] {1,...,n} -> {1,..,n}| [mm] \mu [/mm] ist bijektiv}
Um was es also bei der ganzen Sache geht ist die Kommutativität, die bei mehr als 2 Elementen anscheinend nicht mehr gegeben ist, wieso?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Mo 28.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Reaper
Die Gruppenmultiplikation ist in diesem Fall die Verknüpfung von Abbildungen.
Ein Beispiel:
Sei [mm] $f:\{1,2,3\} \to \{1,2,3\}$ [/mm] mit f(1)=1, f(2)=3, f(3)=2.
Sei [mm] $g:\{1,2,3\} \to \{1,2,3\}$ [/mm] mit g(1)=2, g(2)=3, g(3)=1.
Dann gelten für die Abbildungen
[mm] $f\circ [/mm] g$ (zuerst g, dann f) [mm] $f\circ g\,(1)=3$, $f\circ g\,(2)=2$, $f\circ g\,(3)=1$.
[/mm]
[mm] $g\circ [/mm] f$ (zuerst f, dann g) [mm] $g\circ f\,(1)=2$, $g\circ f\,(2)=1$, $g\circ f\,(3)=3$.
[/mm]
Du siehst, dass [mm] $f\circ [/mm] g$ und [mm] $g\circ [/mm] f$ verschiedene Abbildungen sind.
Im allgemeinen sind Abbildung fast nie kommutativ.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Danke für die verständliche Antwort
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