stetigkeit nachweisen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Mi 16.05.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo
Ich möchte folgendes zeigen: Für jedes $ [mm] f\in L^1[a,b]$ [/mm] mit [mm] $\|f\|_{L^1}=1$ [/mm] gilt, dass die Funktion
$$ [mm] s\mapsto \int_a^s [/mm] |f(t)|dt$$
stetig ist. Ich wollte dies mittels [mm] $\epsilon-\delta$ [/mm] machen:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] >0$ gegeben mit [mm] $|\int_s^r [/mm] |f(t)|dt |< [mm] \epsilon$. [/mm] Nun muss ich ein [mm] $\delta$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $\epsilon$ [/mm] finden, sodass obiges gilt für alle $|s-r|< [mm] \delta$. [/mm] Leider schaffe ich das nicht. Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte. Danke!
physicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Mi 16.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Wir können annehmen, dass f [mm] \ge [/mm] 0 ist auf [a,b]. Sei [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] und [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
Dann gibt es eine Treppenfunktion t mit:
t [mm] \le [/mm] f f.ü. auf [a,b] und 0 [mm] \le \integral_{a}^{b}{(f(x)-t(x)) dx} \le \varepsilon.
[/mm]
t ist beschränkt, also gibt es ein c > 0 mit |t(x)| [mm] \le [/mm] c für alle x [mm] \in [/mm] [a,b].
Setze [mm] \delta= \varepsilon/(2c).
[/mm]
Dann bekommen wir für [mm] |x-x_0|< \delta:
[/mm]
[mm] |F(x)-F(x_0)|=|\integral_{x_0}^{x}{f(u) du}|=|\integral_{x_0}^{x}{(f(u)-t(u)) du}+\integral_{x_0}^{x}{t(u) du}| \le [/mm] ? ? ? [mm] \varepsilon.
[/mm]
Damit Du auch noch eine Kleinigkeit zu tun hast, überlege Dir was für ? ? ? stehen muß.
FRED
P.S.: wozu $ [mm] \|f\|_{L^1}=1 [/mm] $ benötigt wird ist mir nicht klar.
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