sinx und cosx als Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Mi 23.08.2006 | | Autor: | michagm1 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums, dass für sin(x) und cos(x) der Konvergenzradius r gleich unendlich ist. |
Ich habe zunächst versucht die Aufgabe für cos(x) zu lösen.
[mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] (-1) [mm] \bruch{x^{2n} }{2n!}
[/mm]
Unterstellt, dass [mm] \bruch{(-1)}{(-1)} [/mm] für die Lösung unerheblich ist.
Lösung mit Hilfe des Quotientenkriteriums
[mm] \bruch{x^{2n+2} }{(2n+2)!} [/mm] * [mm] \bruch {2n!}{x^{2n}} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2n}*x^{2}}{(2n+2)(2n+1)*2n!} *\bruch{2n!}{x^{2n}} [/mm] =
[mm] \bruch{x^{2}}{(2n+2)(2n+1)} [/mm] =
[mm] \bruch{x^{2}}{(4n^{2}+6n+2)}
[/mm]
Für x=n liefert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^{2}}{(4n^{2}+6n+2)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^{2}(1)}{n^{2}(4 + \bruch{6}{n} + \bruch{2}{n^{2}})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Aber wie komme ich hier auf [mm] \infty?
[/mm]
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Hallo michagm!
> Unterstellt, dass [mm]\bruch{(-1)}{(-1)}[/mm] für die Lösung unerheblich ist.
Zum einen muss es ja [mm] $\bruch{(-1)^{\red{n+1}}}{(-1)^{\red{n}}}$ [/mm] heißen. Aber Du hast Recht: das ist unerheblich, da bei dem Quotientenkriterium der Betrag genommen wird.
> Lösung mit Hilfe des Quotientenkriteriums
>
> [mm]\bruch{x^{2n+2} }{(2n+2)!}[/mm] * [mm]\bruch {2n!}{x^{2n}}[/mm] = [mm]\bruch{x^{2n}*x^{2}}{(2n+2)(2n+1)*2n!} *\bruch{2n!}{x^{2n}}[/mm] = [mm]\bruch{x^{2}}{(2n+2)(2n+1)}[/mm] = [mm]\bruch{x^{2}}{(4n^{2}+6n+2)}[/mm]
Du brauchst hier lediglich die Koeffizentenfolge [mm] $a_n [/mm] \ := \ [mm] \bruch{(-1)^n}{(2n)!}$ [/mm] betrachten, also ohne den Term [mm] $x^{2n}$ [/mm] .
Zum anderen ergibt sich der Konvergenzradius $R_$ genau im Kehrwert zu dem Term des Quotientenkriteriums:
$R \ := \ [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}\right|$
[/mm]
Damit erhältst Du dann: $R \ = \ ... \ = \ [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\left|4*n^2+6*n+2\right| [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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