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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Mo 07.01.2008 | | Autor: | toros |
| Aufgabe | 1a) berechne das integral [mm] \integral_{A}{dxdy\,ln(x^2+y^2)} [/mm] mit hilfe von polarkoordinaten, wobei die fläche A der einheitskreis ist.
1b) berechne das integral [mm] \integral_{B}{dxdy\,\left(\frac{y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2}{(x^2+y^2)^2}\right)} [/mm] mit hilfe von polarkoordinaten, wobei der integrationsbereich B bestimmt ist durch die bedingung [mm] \xi\le\sqrt{x^2+y^2}< [/mm] L |
hi,
ich die aufgabe folgendermassen gerechnet:
1a) [mm] \integral_{A}{dxdy\,ln(x^2+y^2)}=\integral_{0}^{2\pi}d\phi\integral_{0}^1dr\,rlnr^2=\integral_{0}^{2\pi}d\phi\frac{1}{2}r^2(lnr^2-1)|_0^1=-\frac{1}{2}\integral_{0}^{2\pi}d\phi=-\pi
[/mm]
warum kommt jetzt was negatives raus? kann mir einer bitte sagen, was ich falsch gemacht habe?
1b) [mm] \integral_{B}{dxdy\,\left(\frac{y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2}{(x^2+y^2)^2}\right)}=\integral d\phi dr\left(\frac{r^2\sin^2\phi}{r^4}+\frac{r^2\cos^2\phi}{r^4}\right)r=\integral_{\xi}^{L}dr\integral_{0}^{2\pi}d\phi \frac{1}{r}=2\pi\integral_{\xi}^{L}dr\frac{1}{r}=2\pi lnr|_{\xi}^{L}=2\pi ln\left(\frac{L}{\xi}\right)
[/mm]
kann man jetzt noch was genaueres zu [mm] \xi [/mm] und L sagen oder war's das mit der aufgabe?
danke!
gruss toros
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Mo 07.01.2008 | | Autor: | moudi |
Hallo toros
zu 1a)
Für Punkte P(x,y) im Einheitskreis gilt [mm] $x^2+y^2\leq [/mm] 1$ und der Logarithmus einer Zahl kleiner 1 ist negativ.
D.h. die zu intergrierende Funktion ist im Einheitskreis negativ, desshalb ist das Integral auch negativ.
zu 1b)
Ja das war's.
mfG Moudi
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