p^2+n und p^2-n teilerfremd < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Di 15.12.2009 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | Seien p ≥ 5 eine Primzahl und 4 ≤ n ≤ p eine gerade natürliche Zahl. Beweisen Sie, dass die
natürlichen Zahlen p2 + n und p2 − n zueinander teilerfremd sind. |
Huhu, also ich habe mir das so überlegt:
Es gibt ja einen Satz der lautet:
a,b [mm] \in \IN [/mm] und a>b dann ist d=a-b auch nen teiler von a und b.
Also hab dann da 2n raus, nun weiss ich aber nichtmehr ganz weiter :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Di 15.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien p ≥ 5 eine Primzahl und 4 ≤ n ≤ p eine gerade
> natürliche Zahl. Beweisen Sie, dass die
> natürlichen Zahlen p2 + n und p2 − n zueinander
> teilerfremd sind.
>
> Huhu, also ich habe mir das so überlegt:
>
> Es gibt ja einen Satz der lautet:
>
> a,b [mm]\in \IN[/mm] und a>b dann ist d=a-b auch nen teiler von a
> und b.
Ja.
> Also hab dann da 2n raus, nun weiss ich aber nichtmehr ganz
> weiter :(
Nun. Nimm doch mal an, [mm] $ggT(p^2 [/mm] + n, [mm] p^2 [/mm] - n) > 1$. Dann gibt es eine Primzahl $q$, welche sowohl [mm] $p^2 [/mm] + n$ wie auch [mm] $p^2 [/mm] - n$ teilt, und somit auch $2 n$.
Dann mach eine Fallunterscheiung: $q = 2$ und $q > 2$ (in dem Fall ist $q$ ein gem. Teiler von $n$ und [mm] $p^2 [/mm] + n$ -- kannst du daraus einen Widerspruch folgern?).
LG Felix
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