noch eine Ungleichung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:26 Fr 14.08.2009 | | Autor: | pittster |
| Aufgabe | Man zeige für beliebige nichtnegative x,z mit x+z<1 die Ungleichung
[mm] $(1+x)(1+z)\le\frac{1}{1-(x+z)}$ [/mm] |
[mm] $(1+x)(1+z)\le\frac{1}{1-(x+z)}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 1+x+z+zx [mm] \le \frac{1}{1-x-z}$ [/mm] (ausklammern)
[mm] $\gdw (1+x+z+zx)(1-x-z)\le [/mm] 1$ (auf einen Nenner bringen)
[mm] $\gdw 1+x^2-zx^2-zx-z^2-z^2x \le [/mm] 1$ (wieder ausklammern)
[mm] $\gdw x^2-zx^2-zx-z^2-z^2x \le [/mm] 0$
Reicht das hier aus? Immerhin wurde in der Aufgabe ja darauf hingewiesen, dass x+z<1 sein muss.
lg, Dennis
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Hallo, zunächst ein kleiner Vorzeichenfehler - [mm] x^{2}, [/mm] somit steht überall "minus", Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Fr 14.08.2009 | | Autor: | pittster |
Hatte ich es anders aufgeschrieben oder hattest du es eben korrigiert? Bei mir auf dem Zettel hatte ich die Minuszeichen, muss wohl beim Abschreiben passiert sein.
Aber nun zur Lösung? Wie gehts denn nun richtig?
lg, Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Fr 14.08.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast also
.................. $ [mm] \gdw -x^2-zx^2-zx-z^2-z^2x [/mm] =$
$ [mm] -(x^2+zx^2+zx+z^2+z^2x [/mm] ) [mm] \le [/mm] 0 $
Da x und z nichtnegativ sind, ist die letzte große Klammer ebenfalls nichtnegativ
FRED
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