nicht gleichmäßig konvergent? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 Di 07.08.2012 | | Autor: | sqflo |
hallo. ich möchte zeigen, dass due funktionenfolge [mm] $f_n(x)=\frac{1}{nx}$ [/mm] auf dem intervall $(0,1)$ nicht gleichmäßig konvergiert.
erstens: die folge konvergiert punktweise gegen $f(x)=0$.
Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und [mm] $x\in [/mm] (0,1)$. Whle ein [mm] $N\in\mathbb{N}$, [/mm] sodass [mm] $N>\frac{1}{\varepsilon x}$. [/mm] Dann gilt [mm] $N>\frac{1}{\varepsilon x}\gdw [/mm] 1/N < [mm] \varepsilon [/mm] x [mm] \gdw \frac{1}{Nx}<\varepsilon$ [/mm] und [mm] $|f_n(x)-f(x)|=\frac{1}{nx}\le\frac{1}{Nx}<\varepsilon$ $\forall n\ge [/mm] N$
wäre [mm] $f_n$ [/mm] also gleichmäßig konvergent, so müsste sie gegen die nullfunkiton konvergieren. das geht aber nicht, denn für jedes [mm] $n\ge [/mm] 2$ ist [mm] $1/n^2$ [/mm] in $(0,1)$ und [mm] $|f_n(1/n^2)-f(1/n^2)|=n<\varepsilon$ [/mm] gilt selbstverständlich nicht. es lässt sich also für jedes [mm] $N\in\mathbb{N}$ [/mm] ein [mm] $x\in [/mm] (0,1)$ finden, sodass [mm] $f_n(x)-f(x)|\ge\varepsilon$, $n\ge [/mm] N$ gilt.
Ist die überlegung richtig? der beweis ist zwar sehr nah an der definition der gleichm. konvergenz, aber trotzdem bin ich mir nicht ganz sicher.
lg
flo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Di 07.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> hallo. ich möchte zeigen, dass due funktionenfolge
> [mm]f_n(x)=\frac{1}{nx}[/mm] auf dem intervall [mm](0,1)[/mm] nicht
> gleichmäßig konvergiert.
>
> erstens: die folge konvergiert punktweise gegen [mm]f(x)=0[/mm].
> Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] und [mm]x\in (0,1)[/mm]. Whle ein [mm]N\in\mathbb{N}[/mm],
> sodass [mm]N>\frac{1}{\varepsilon x}[/mm]. Dann gilt
> [mm]N>\frac{1}{\varepsilon x}\gdw 1/N < \varepsilon x \gdw \frac{1}{Nx}<\varepsilon[/mm]
> und [mm]|f_n(x)-f(x)|=\frac{1}{nx}\le\frac{1}{Nx}<\varepsilon[/mm]
> [mm]\forall n\ge N[/mm]
>
> wäre [mm]f_n[/mm] also gleichmäßig konvergent, so müsste sie
> gegen die nullfunkiton konvergieren. das geht aber nicht,
> denn für jedes [mm]n\ge 2[/mm] ist [mm]1/n^2[/mm] in [mm](0,1)[/mm] und
> [mm]|f_n(1/n^2)-f(1/n^2)|=n<\varepsilon[/mm] gilt
> selbstverständlich nicht. es lässt sich also für jedes
> [mm]N\in\mathbb{N}[/mm] ein [mm]x\in (0,1)[/mm] finden, sodass
> [mm]f_n(x)-f(x)|\ge\varepsilon[/mm], [mm]n\ge N[/mm] gilt.
>
> Ist die überlegung richtig?
Ja
FRED
> der beweis ist zwar sehr nah
> an der definition der gleichm. konvergenz, aber trotzdem
> bin ich mir nicht ganz sicher.
>
>
> lg
> flo
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