minimaler Abstand Hyp.b. Pkt. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Di 03.12.2013 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | | Welcher Punkt (a,b) der Hyperbel [mm] a^{2}-b^{2}=32 [/mm] hat den geringsten Abstand [mm] d_{min} [/mm] vom Punkt (0|4) ? |
Ich habe die Aufgabe wie folgt bearbeitet:
Ich habe mir eine Skizze angelegt und darin Vektoren eingezeichnet:
1. den Vektor [mm] \vec{Q}, [/mm] welcher vom Ursprung zum Punkt (0|4) zeigt
2. den Vektor [mm] \vec{d}, [/mm] welcher vom Punkt (0|4) zu irgendeinem Punkt auf der Hyperbel zeigt und
3. den Vektor [mm] \vec{P}, [/mm] welcher vom Ursprung zu irgendeinem Punkt auf der Hyperbel zeigt.
Offensichtlich ist dann: [mm] \vec{d}=\vec{P}-\vec{Q}
[/mm]
[mm] \vec{P}=\vektor{x \\ y} [/mm] . Da [mm] x^{2}-y^{2}=32 [/mm] gilt, folgt somit [mm] x_{1/2}=\pm\wurzel{y^{2}+32} [/mm] und somit [mm] \vec{P}=\vektor{\pm\wurzel{y^{2}+32} \\ y}
[/mm]
[mm] \vec{Q}=\vektor{0 \\ 4}
[/mm]
und somit [mm] \vec{d}=\vektor{\pm\wurzel{y^{2}+32} \\ y-4} [/mm] und [mm] |(\vec{d}|=\wurzel{(\pm\wurzel{y^{2}+32})^{2}+(y-4)^{2}}=\wurzel{2y^{2}-8y+48}=|\vec{d}(y)|
[/mm]
Gesucht sind Extreme von [mm] |\vec{d}(y)| [/mm] also wird die Ableitung mit 0 gleichgesetzt.
[mm] \bruch{d|\vec{d}(y)|}{dy}=0=\bruch{2y-4}{\wurzel{2y^{2}-8y+48}} \Rightarrow [/mm] y=2
[mm] y=2:x_{1/2}=\pm\wurzel{2^{2}+32}=\pm6
[/mm]
und somit wurden die Punkte auf der Hyperbel gefunden
Ist hier alles richtig gemacht worden?
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Hallo,
> Welcher Punkt (a,b) der Hyperbel [mm]a^{2}-b^{2}=32[/mm] hat den
> geringsten Abstand [mm]d_{min}[/mm] vom Punkt (0|4) ?
> Ich habe die Aufgabe wie folgt bearbeitet:
> Ich habe mir eine Skizze angelegt und darin Vektoren
> eingezeichnet:
>
> 1. den Vektor [mm]\vec{Q},[/mm] welcher vom Ursprung zum Punkt (0|4)
> zeigt
> 2. den Vektor [mm]\vec{d},[/mm] welcher vom Punkt (0|4) zu
> irgendeinem Punkt auf der Hyperbel zeigt und
> 3. den Vektor [mm]\vec{P},[/mm] welcher vom Ursprung zu irgendeinem
> Punkt auf der Hyperbel zeigt.
> Offensichtlich ist dann: [mm]\vec{d}=\vec{P}-\vec{Q}[/mm]
> [mm]\vec{P}=\vektor{x \\ y}[/mm] . Da [mm]x^{2}-y^{2}=32[/mm] gilt, folgt
> somit [mm]x_{1/2}=\pm\wurzel{y^{2}+32}[/mm] und somit
> [mm]\vec{P}=\vektor{\pm\wurzel{y^{2}+32} \\ y}[/mm]
>
> [mm]\vec{Q}=\vektor{0 \\ 4}[/mm]
> und somit
> [mm]\vec{d}=\vektor{\pm\wurzel{y^{2}+32} \\ y-4}[/mm] und
> [mm]|(\vec{d}|=\wurzel{(\pm\wurzel{y^{2}+32})^{2}+(y-4)^{2}}=\wurzel{2y^{2}-8y+48}=|\vec{d}(y)|[/mm]
> Gesucht sind Extreme von [mm]|\vec{d}(y)|[/mm] also wird die
> Ableitung mit 0 gleichgesetzt.
>
> [mm]\bruch{d|\vec{d}(y)|}{dy}=0=\bruch{2y-4}{\wurzel{2y^{2}-8y+48}} \Rightarrow[/mm]
> y=2
>
> [mm]y=2:x_{1/2}=\pm\wurzel{2^{2}+32}=\pm6[/mm]
> und somit wurden die Punkte auf der Hyperbel gefunden
>
> Ist hier alles richtig gemacht worden?
Ich denke: ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich habe anders herum gerechnet, also nach y aufgelöst. Damit bekomme ich das gleiche Resultat.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Di 03.12.2013 | | Autor: | bquadrat |
Dankeschön :)
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