lineare Wachstumsbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 So 23.12.2012 | | Autor: | vivo |
Hallo,
man betrachte die stetigen Funktionen:
[mm]f: [0,T] \to ]0,1[ [/mm]
[mm]g: [0,T] \to ]0,1[ [/mm]
und
[mm]h: \IR \to \IR_+ [/mm]
wobei [mm]h(\cdot)[/mm] durch eine Funktion der Form [mm]m |x|+a[/mm] beschreänkt ist. (z.B. [mm]h(x)=\sqrt{|x|}[/mm])
Nun die Frage: Gilt mit einer Konstante [mm]c \in \IR[/mm]
[mm]\exists K < \infty ~ \forall t \in [0,T] ~ \forall x \in \IR: ~~ |\underbrace{f(t)\cdot h(x) - \big(c + g(t) \big)\cdot |x|}_{:=F(t,x)} | \leq K(1+|x| ) [/mm]
?
Ich würde sagen ja, da die Bedingung für [mm]h(\cdot)[/mm] alleine nach Voraussetzung gilt und die Funktionen [mm]f(\cdot)[/mm] und [mm]g(\cdot)[/mm] stetig und beschränkt sind. [mm]F(t,x)[/mm] ist Verkettung.
Reicht das so als Begründung? Oder sollte es ausführlicher gezeigt werden?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 So 23.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> man betrachte die stetigen Funktionen:
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> [mm]f: [0,T] \to ]0,1[[/mm]
> [mm]g: [0,T] \to ]0,1[[/mm]
>
> und
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> [mm]h: \IR \to \IR_+[/mm]
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> wobei [mm]h(\cdot)[/mm] durch eine Funktion der Form [mm]m |x|+a[/mm]
> beschreänkt ist. (z.B. [mm]h(x)=\sqrt{|x|}[/mm])
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> Nun die Frage: Gilt mit einer Konstante [mm]c \in \IR[/mm]
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> [mm]\exists K < \infty ~ \forall t \in [0,T] ~ \forall x \in \IR: ~~ |\underbrace{f(t)\cdot h(x) - \big(c + g(t) \big)\cdot |x|}_{:=F(t,x)} | \leq K(1+|x| )[/mm]
>
>
> ?
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> Ich würde sagen ja, da die Bedingung für [mm]h(\cdot)[/mm] alleine
> nach Voraussetzung gilt und die Funktionen [mm]f(\cdot)[/mm] und
> [mm]g(\cdot)[/mm] stetig und beschränkt sind. [mm]F(t,x)[/mm] ist
> Verkettung.
>
> Reicht das so als Begründung?
Mir würde das nicht richen
> Oder sollte es
> ausführlicher gezeigt werden?
Ja, c=0 tuts.
FRED
>
> Vielen Dank
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:38 So 23.12.2012 | | Autor: | vivo |
Hallo,
danke für deine Antwort.
> Mir würde das nicht richen
[mm]\exists K < \infty ~ \forall t \in [0,T] ~ \forall x \in \IR: ~~ |\underbrace{f(t)\cdot h(x) - \big(c + g(t) \big)\cdot |x|}_{:=F(t,x)} | \leq K(1+|x| )[/mm]
Angenommen [mm]c > 0[/mm]
[mm]\Big|f(t)\cdot h(x) - \big(c + g(t) \big)\cdot |x| \Big| \leq \Big| f(t)\cdot h(x) \Big| + \Big|\big( - c - g(t) \big)\cdot |x| \Big| \leq \Big| 1 \cdot h(x) \Big| + \Big|\big( - c - 1 \big)\cdot |x| \Big| \leq K(1+|x| )[/mm]
Da [mm]h(\cdot)[/mm] nach Voraussetzung von einer Funktion [mm]m\cdot |x| +a[/mm] mit [mm]a,m > 0[/mm] beschränkt ist, kann man [mm]K=2 \cdot \max\{m,a, |-c-1|\}[/mm] wählen.
Irgendwas falsch?
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 25.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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