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konvergenz von folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Mo 22.11.2010
Autor: avre

Aufgabe: Man untersuche die Folge an = [mm] \wurzel[n]{3^n+5^n+7^n} [/mm] auf Konvergenz und bestimme ihren Grenzwert.

Jetzt meine Frage, wie gehe ich an so eine aufgabe ran und woher weiß ich welches Konvergenzkriterium das beste dafür ist?

Danke schon mal für die Antworten


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
konvergenz von folgen: ausklammern
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 Mo 22.11.2010
Autor: Loddar

Hallo avre,

[willkommenmr] !!


Klammere die höchste Potenz (also [mm] $7^n$ [/mm] ) aus und führe dann die Grenzwertbetrachtung durch.


Gruß
Loddar


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konvergenz von folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:25 Di 23.11.2010
Autor: fred97


> Hallo avre,
>  
> [willkommenmr] !!
>  
>
> Klammere die höchste Potenz (also [mm]7^n[/mm] ) aus

Hallo Loddar,

Dein Vorschlag reduziert das Problem aber nur auf

                  $ [mm] \wurzel[n]{a^n+b^n+1} [/mm] $

mit 0<a,b<1

FRED


> und führe
> dann die Grenzwertbetrachtung durch.
>  
>
> Gruß
>  Loddar
>  


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konvergenz von folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:58 Di 23.11.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu Fred,

die Abschätzung [mm] $\sqrt[n]{a^n + b^n + 1} \le \sqrt[n]{2}$ [/mm] für ausreichend grosse n sollte man mit ein bisschen Üben aber auch sehen..... ist aber letztlich ja auch nur das, was du machst.... nur vllt. ein bisschen Intuitiver.

MFG,
Gono.

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konvergenz von folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:28 Di 23.11.2010
Autor: fred97


> Aufgabe: Man untersuche die Folge an =
> [mm]\wurzel[n]{3^n+5^n+7^n}[/mm] auf Konvergenz und bestimme ihren
> Grenzwert.
>  
> Jetzt meine Frage, wie gehe ich an so eine aufgabe ran und
> woher weiß ich welches Konvergenzkriterium das beste
> dafür ist?


$7= [mm] \wurzel[n]{7^n} \le a_n \le \wurzel[n]{3*7^n}= \wurzel[n]{3}*7$ [/mm]

FRED

>  
> Danke schon mal für die Antworten
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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konvergenz von folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 Di 23.11.2010
Autor: avre

Kann ich denn so einfach die 5 weglassen und nur noch mit 3 und 7 arbeiten ?

Und mit welchem Kriterium zeig ich nun das es konvergent ist?



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konvergenz von folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 Di 23.11.2010
Autor: fred97

Du hast offensichtlich nicht verstanden, wie die Ungleichungen

            


(*)$ 7= [mm] \wurzel[n]{7^n} \le a_n \le \wurzel[n]{3\cdot{}7^n}= \wurzel[n]{3}\cdot{}7 [/mm] $

zustande kommen

Es ist [mm] $7^n \le 3^n+5^n+7^n \le 7^n+7^n+7^n= 3*7^n$ [/mm]

Aus (*) folgt:

            $7 [mm] \le a_n \le \wurzel[n]{3}\cdot{}7 [/mm] $

Was treibt die konstante Folge (7) für n gegen [mm] \infty [/mm] ?

Was treibt die Folge ( [mm] \wurzel[n]{3}\cdot{}7) [/mm] für n gegen [mm] \infty [/mm] ?

Was  treibt dann die Folge ( [mm] a_n) [/mm] für n gegen [mm] \infty [/mm] ?

FRED

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konvergenz von folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:50 Di 23.11.2010
Autor: avre

Ok jetzt hab ich es verstanden. Der Grenzwert ist also 7.

Aber kann ich die Konvergenz der Folge dann einfach mit dem Einschließkriterium begründen oder muss ich da nicht auch noch was berechnen? Wie Monotonie...?

Vera

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konvergenz von folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Di 23.11.2010
Autor: Damasus


> Ok jetzt hab ich es verstanden. Der Grenzwert ist also 7.
>  
> Aber kann ich die Konvergenz der Folge dann einfach mit dem
> Einschließkriterium begründen oder muss ich da nicht auch
> noch was berechnen? Wie Monotonie...?
>  
> Vera

Das reicht aus. Damit hast du gezeigt, dass die Folge konvergent ist und hast den Grenzwert bestimmt.

Mfg, Damasus

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