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Hallo,
ich komm bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Prüfe die folgende Reihe [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] auf Konvergenz:
Sei z [mm] \in \IC [/mm] mit|z|<1, und sei [mm] m\in \IN [/mm] beliebig. Konvergiert die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \vektor{m+k \\ k}z^{k} [/mm] ?
Umformung:
[mm] \bruch{(m+k)!}{((m+k)-k)! * k!}*z^{k} [/mm]
Ich hab das mit dem Quotientenkriterium versucht:
[mm] \bruch{(m+(k+1))! * z^{k+1}}{((m+(k+1))-(k+1))! * (k+1)!}*\bruch{((m+k)-k)!*k!}{(m+k)! *z^{k}}=
[/mm]
[mm] \bruch{(m+(k+1))! * z*z^{k}}{((m+(k+1))-(k+1))! * (k+1)*k!}*\bruch{((m+k)-k)!*k!}{z^{k}}=
[/mm]
[mm] \bruch{(m+(k+1))! * z}{((m+(k+1))-(k+1))! * (k+1)}*\bruch{((m+k)-k)!}{1}
[/mm]
ich weiß nicht wie ich das weiter verkürzen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Mi 09.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Prüfe die folgende Reihe [mm](x_{n})_{n\in\IN}[/mm] auf
> Konvergenz:
> Sei z [mm]\in \IC[/mm] mit|z|<1, und sei [mm]m\in \IN[/mm] beliebig.
> Konvergiert die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \vektor{m+k \\ k}z^{k}[/mm]
> ?
>
>
> Umformung:
> [mm]\bruch{(m+k)!}{((m+k)-k)! * k!}*z^{k}[/mm]
Ich weiss nicht ob das so viel weiterhilft.
Beachte doch, dass [mm] $\binom{m+k}{k} [/mm] = [mm] \binom{m+k}{m} \le \frac{(m + k)^m}{m!} \le [/mm] (m + [mm] k)^m$ [/mm] ist. Zeige, dass [mm] $\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{(m + k)^m} [/mm] = 1$ ist.
Alternativ leite die Reihe mal (formal) ab; faellt dir was auf?
LG Felix
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