komplex differenzierbar < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Do 07.05.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | In welchen Punkten ist sin|z| komplex differenzierbar? |
Hallo
wie soll ich an obige Aufgabe am besten ran gehen? Ich habe mich gefragt ob [mm] sin(\sqrt{(x^2+y^2)}) [/mm] überhaupt total reell diffbar ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Do 07.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> In welchen Punkten ist sin|z| komplex differenzierbar?
> Hallo
>
> wie soll ich an obige Aufgabe am besten ran gehen? Ich habe
> mich gefragt ob [mm]sin(\sqrt{(x^2+y^2)})[/mm] überhaupt total
> reell diffbar ist.
Reizvolle Aufgabe ....
Fall 1: z=0.
Ist t [mm] \in \IR [/mm] und t>0, so gilt:
[mm] \bruch{f(t)-f(0)}{t}= \bruch{sin(t)}{t} \to [/mm] 1 füt t [mm] \to [/mm] 0.
Ist t [mm] \in \IR [/mm] und t<0, so gilt:
[mm] \bruch{f(t)-f(0)}{t}= \bruch{sin(-t)}{t}=- \bruch{sin(t)}{t} \to [/mm] -1 füt t [mm] \to [/mm] 0.
Was bedeutet das für die Frage, ob f in z=0 komplex differenzierbar ist.
Fall 2. z [mm] \ne [/mm] 0, also [mm] |z|=\wurzel{x^2+y^2}>0.
[/mm]
Die Funktion f ist in einem solchen Punkt natürlich reell differenzierbar.
Die Cauchy-Riemannschen DGLen sind in einem sochen Punkt genau dann erfüllt, wenn
xcos(|z|)=0 und ycos(|z|)=0
ist. Da x [mm] \ne [/mm] 0 oder y [mm] \ne [/mm] 0 ist, folgt:
Die Cauchy-Riemannschen DGLen sind in z genau dann erfüllt, wenn
cos(|z|)=0.
Rechne das nach !
Sei
[mm] K_n:=\{z \in \IC: |z|=\bruch{2n+1}{2}* \pi\} [/mm] für $n [mm] \in \IN_0$.
[/mm]
Zeige nun, dass aus obigen Fällen folgt: ist [mm] z_0 \in \IC, [/mm] so gilt:
f ist in [mm] z_0 [/mm] komplex differenzierbar
[mm] \gdw [/mm]
es ex. ein $n [mm] \in \IN_0 [/mm] $ mit: [mm] z_0 \in K_n.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Do 07.05.2015 | | Autor: | Trikolon |
Hallo Fred,
danke für deine Mühe! Ich habe es soweit verstanden bis auf den Schritt, in dem du [mm] K_n [/mm] definierst. cos(|z|)=0 bedeutet doch [mm] |z|=\pi/2+k\pi, [/mm] k [mm] \in [/mm] Z...
Könntest du mir das noch mal erklären?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:18 Fr 08.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> danke für deine Mühe! Ich habe es soweit verstanden bis
> auf den Schritt, in dem du [mm]K_n[/mm] definierst. cos(|z|)=0
> bedeutet doch [mm]|z|=\pi/2+k\pi,[/mm] k [mm]\in[/mm] Z...
Eigeninitiative,... wie schreibst Du das ?
[mm] $\bruch{\pi}{2}+ [/mm] k [mm] \pi =\bruch{\pi + 2k \pi}{2}=\bruch{(2k+1) \pi}{2}$
[/mm]
Ist k [mm] \in \IZ [/mm] und [mm] |z|=\bruch{(2k+1) \pi}{2}, [/mm] so ist |z| [mm] \ge [/mm] 0 , also k [mm] \ge [/mm] 0 und somit k [mm] \in \IN_0.
[/mm]
Ich habe n statt k geschrieben, ich Schuft ....
FRED
> Könntest du mir das noch mal erklären?
>
> Danke!
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