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kompl. Potenzreihe: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:47 Mo 23.05.2011
Autor: XPatrickX

Hallo!!

Ich untersuche für [mm] $z\in\IC$ [/mm] die folgende Potenzreihe
[mm] $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} z^n$$ [/mm]
in den Randpunkten des Konvergenzkreises, also die $z$ mit $|z|=1$.
Für z=1 habe ich trivialerweise Divergenz, doch für alle anderen $z, |z|=1$ liegt Konvergenz vor. Jedoch will mir der Beweis nicht gelingen. Für $z [mm] \not= [/mm] 1$ habe ich die folgende Zerlegung:

[mm] $\sum_{n=1}^m \frac{1}{n}z^n [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^m s_n \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) [/mm] + [mm] s_m \frac{1}{m+1} [/mm] , [mm] \quad s_n [/mm] := [mm] \sum_{k=1}^n z^k$. [/mm]

Ich habe mir folgendes überlegt: Für $|z|=1$ gilt [mm] $|s_n| \le \sum_{k=1}^n |z|^k [/mm] = n$. Also kann ich meine Potenzreihe betragsmäßig abschätzen:
[mm] $\left|\sum_{n=1}^m \frac{1}{n}z^n \right| \le \sum_{n=1}^m [/mm] n [mm] \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) [/mm] + [mm] \frac{m}{m+1}$ [/mm]
Der zweite Summand konvergiert mir für [mm] $m\to\infty$ [/mm] zwar gegen 1, jedoch divergiert die Reihe, da sich ja gekürzt [mm] §\sum_{n=1}^m \frac{1}{n+1}$ [/mm] ergibt. Da habe ich wohl zu grob abgeschätzt. Aber ich sehe keine andere sinnvolle Abschätzung...

Danke für die Hilfe. :-)

        
Bezug
kompl. Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:28 Do 26.05.2011
Autor: Lippel


> Hallo!!
>  
> Ich untersuche für [mm]z\in\IC[/mm] die folgende Potenzreihe
>  [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} z^n[/mm]
>  in den Randpunkten
> des Konvergenzkreises, also die [mm]z[/mm] mit [mm]|z|=1[/mm].
> Für z=1 habe ich trivialerweise Divergenz, doch für alle
> anderen [mm]z, |z|=1[/mm] liegt Konvergenz vor. Jedoch will mir der
> Beweis nicht gelingen. Für [mm]z \not= 1[/mm] habe ich die folgende
> Zerlegung:
>  
> [mm]\sum_{n=1}^m \frac{1}{n}z^n = \sum_{n=1}^m s_n \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) + s_m \frac{1}{m+1} , \quad s_n := \sum_{k=1}^n z^k[/mm].

Mag sein, dass ich dich damit auf den Holzweg schicke, aber hast du es mal versucht mit $|z|=1, z [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow z=e^{i\phi}$ [/mm] mit [mm] $\phi \in (0,2\pi)$. [/mm]
Damit bekommst du:
[mm] $\summe_{n=1}^\infty \frac{1}{n}z^n [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^\infty \frac{1}{n}e^{in\phi} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^\infty \frac{1}{n}(cos(n\phi)+i\;sin(n\phi)$ [/mm]
Nun hast du ja durch den Sinuns und Kosinus Vorzeichenwechsel (leider ist es nicht zwingend alternierend), die dafür sorgen, dass die Reihe im Gegensatz zur harmonischen Reihe konvergiert. Vielleicht kommst du ja weiter, wenn du dir das noch genauer anschaust.

LG Lippel

Bezug
        
Bezug
kompl. Potenzreihe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Do 26.05.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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