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harmonische Funktion (?): Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:15 Mi 20.04.2005
Autor: Bastiane

Hallo ihrs! ;-)

Also, ich hab' hier noch ne Aufgabe, wo ich noch nich so wirklich viel mit anfangen kann:

Es sei u eine harmonische Funktion in einer Umgebung von [mm] G\subset\IR^n. [/mm] Zeige

(a) [mm] \integral_{\partial\;G}{\bruch{\partial\;u}{\partial\;v}\;dS} [/mm] =0;

(b) [mm] \integral_{\partial\;G}{u\bruch{\partial\;u}{\partial\;v}\;dS} [/mm] = [mm] \integral_{G}{||grad\;u||^2\;d^nx}. [/mm]

Daraus folgt: Falls G zusammenhängend ist und [mm] \partial_{v}u=0 [/mm] auf [mm] \partial\;G, [/mm] dann ist u konstant.

Womit hat das etwas zu tun? Wo könnte ich hier mal nachschlagen?

Viele Grüße und [gutenacht]

Bastiane
[banane]

        
Bezug
harmonische Funktion (?): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:06 Do 21.04.2005
Autor: pjoas

So ganz versteh ich die Frage nicht... harmonische Funktionen in einem Gebiet sind doch mindestens 2fach diffbar und auf dem Gebiet erfüllen sie die Laplace-Gleichung, also [mm] $\Delta [/mm] u(x,y)=0$ für [mm] $x,y\in [/mm] D$ - Analysis II bis III.
Oder in Funktionentheorie als Real bzw. Imaginärteil holomorpher Funktionen.

Gruß, Patrick

Als Tipp: harmonische Funktionen nehmen nur am Rand Extrema an.
Bezug
        
Bezug
harmonische Funktion (?): Brain storming
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:07 Do 21.04.2005
Autor: Peter_Pein

Hi Bastiane,

also mich erinnert das an das Maximumsprinzip der Komplexen Fkt.theorie

Gruß,
Peter
Bezug
        
Bezug
harmonische Funktion (?): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:01 Fr 22.04.2005
Autor: moudi


> Hallo ihrs! ;-)
>  
> Also, ich hab' hier noch ne Aufgabe, wo ich noch nich so
> wirklich viel mit anfangen kann:
>  
> Es sei u eine harmonische Funktion in einer Umgebung von
> [mm]G\subset\IR^n.[/mm] Zeige
>  
> (a)
> [mm]\integral_{\partial\;G}{\bruch{\partial\;u}{\partial\;v}\;dS}[/mm]
> =0;
>  
> (b)
> [mm]\integral_{\partial\;G}{u\bruch{\partial\;u}{\partial\;v}\;dS}[/mm]
> = [mm]\integral_{G}{||grad\;u||^2\;d^nx}.[/mm]
>  
> Daraus folgt: Falls G zusammenhängend ist und
> [mm]\partial_{v}u=0[/mm] auf [mm]\partial\;G,[/mm] dann ist u konstant.
>  
> Womit hat das etwas zu tun? Wo könnte ich hier mal
> nachschlagen?

Hallo Bastiane

Das erinnert mich doch sehr an den allgemeinen Satz von Stokes rsp. an eine Anwendung davon.

mfG Moudi
>  
> Viele Grüße und [gutenacht]
>  
> Bastiane
>  [banane]
>  
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