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grenzwert und co.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Di 20.05.2008
Autor: Patella

Aufgabe
für jedes a>0 gilt lim (n--> unendlich) (n-te WURZEL a) = 1
diese aussage soll gezeit werden.

Tipp: betrachte zuerst a<1
um zu zeigen, dass [mm] 0\le a^1/n [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für jedes beliebige kleine epsilon richtig ist, wie bei n-te Wurzel aus n.
den fall a < 1 können sie mit b=1/a auf den ersten zurück führen!

Ich habe mich jetzt schon mit dieser aussage auseinander gesetzt. auch mit der n-ten wurzel aus n, aber irgendwie hab ich leider noch keine richtige idee...

ich wäre über eure hilfe sehr dankbar

lieben gruß


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
grenzwert und co.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:55 Di 20.05.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> für jedes a>0 gilt lim (n--> unendlich) (n-te WURZEL a) =  1


Mit TeX:   [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a} = 1 [/mm]


>  diese aussage soll gezeigt werden.
>  
> Tipp: betrachte zuerst a<1

gemeint war wahrscheinlich    a>1  !     (siehe ***)

>  um zu zeigen, dass [mm]0\le a^1/n[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für jedes        [kopfschuettel]
> beliebige kleine epsilon richtig ist, wie bei n-te Wurzel
> aus n.

           ???????

>  den fall a < 1 können sie mit b=1/a auf den ersten zurück  führen!  (***)
>  Ich habe mich jetzt schon mit dieser aussage auseinander
> gesetzt. auch mit der n-ten wurzel aus n, aber irgendwie
> hab ich leider noch keine richtige idee...
>
> ich wäre über eure hilfe sehr dankbar
>  
> lieben gruß
>  

Im Fall  a > 1  geht es darum, zu zeigen, dass

                          [mm] 1 \le a^{1/n} < 1+ \varepsilon [/mm]

für jedes beliebig kleine positive [mm] \varepsilon [/mm]  mit einem genügend
grossen  n  erfüllt werden kann.
Für die weitere Rechnung empfiehlt es sich wohl, diese Ungleichungs-
Kette mit dem Exponenten  n  zu potenzieren und zu verwenden,
dass  (1+ [mm] \varepsilon)^n \ge [/mm] 1 + n [mm] \varepsilon [/mm]   ( für [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und  n [mm] \in \IN [/mm] )


Gruß     al-Chwarizmi

Bezug
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