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gleichverteilte zufallsvari: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Sa 18.04.2009
Autor: Butterbrot23

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

hallo,
ich hoffe meine Frage nach 'gleichverteilten Zufallsvariablen' ist in diesem Bereich richtig.
Ich habe eine Aufgabe zu lösen, bei der ich einen Beweis tätigen muss.
Zwar sind [mm] U_{1},..., U_{n} [/mm] auf Intervall [0,1] unabhängig & gleichverteilte Zufallsvariable. Und ich soll zeigen, dass der Nachkommaanteil von [mm] \summe_{i=1}^{n} U_{i} [/mm] ebenso auf Intervall [0,1] gleichverteilt ist.
Kann mir da jemand einen Hinweis auf den Lösungsweg geben?

        
Bezug
gleichverteilte zufallsvari: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:04 Mo 20.04.2009
Autor: felixf

Hallo!

>  ich hoffe meine Frage nach 'gleichverteilten
> Zufallsvariablen' ist in diesem Bereich richtig.
>  Ich habe eine Aufgabe zu lösen, bei der ich einen Beweis
> tätigen muss.
>  Zwar sind [mm]U_{1},..., U_{n}[/mm] auf Intervall [0,1] unabhängig
> & gleichverteilte Zufallsvariable. Und ich soll zeigen,
> dass der Nachkommaanteil von [mm]\summe_{i=1}^{n} U_{i}[/mm] ebenso
> auf Intervall [0,1] gleichverteilt ist.
>  Kann mir da jemand einen Hinweis auf den Lösungsweg geben?

Ja. Unterteile das ganze in zwei Schritte:

1) Loese den Fall $n = 2$. Dazu musst du zeigen, dass die Verteilungsfunktion von [mm] $nachkomma(U_1 [/mm] + [mm] U_2)$ [/mm] gerade die einer gleichverteilten ZV ist. Dazu reicht es ja, [mm] $F_{nachkomma(U_1+U_2)}(x)$ [/mm] fuer $x [mm] \in [/mm] [0, 1]$ zu betrachten. Die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] $nachkomma(U_1 [/mm] + [mm] U_2) \le [/mm] x$ ist, ist dann ja gleich der W'keit, dass [mm] $U_1 [/mm] + [mm] U_2 \in [/mm] [0, x] [mm] \cup [/mm] [1, 1 + x]$ liegt. Diese wiederum kannst du mit der Verteilungsfunktion von [mm] $U_1 [/mm] + [mm] U_2$ [/mm] ausrechnen.

EDIT: was Vergessenes hinzugefuegt.

2) Loese den allgemeinen Fall per Induktion nach $n$ (mittels 1).

LG Felix


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