gleichung lösen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 So 11.09.2005 | | Autor: | fabse |
hallo leute ich steh grad total aufm schlauch und wäre froh wenn mir hier jemand helfen könnte diese gleichug aufzulösen:
2+ [mm] \wurzel{3x(x-2)}=x
[/mm]
vielen dank schon im voraus
fabse
p.s.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo fabse!
Willkommen im Matheraum.
Du hast also [mm]2+\wurzel{3x(x-2)}=x[/mm]. Erst einmal ist die Wurzel 'störend' - also quadrieren wir beide Seiten: [mm]4+(3x(x-2))=x^2[/mm]. Dann ausmultiplizieren: [mm]4+(3x^2-6x)=x^2[/mm]
[mm]3x^2-6x+4=x^2[/mm]
[mm]2x^2-6x+4=0[/mm]
Jetzt kannst du einige weitere Lösungswege nehmen - entweder du benutzt die zweite binomische Formel oder du normierst die Gleichung und benutzt die pq-Formel oder du nimmst sie, wie sie ist und nimmst die ABC-Formel... Ganz nach Gefallen. Kannst ja mal zeigen, wie du's gemacht hast und das Ergebnis dann hier posten.
> hallo leute ich steh grad total aufm schlauch und wäre froh
> wenn mir hier jemand helfen könnte diese gleichug
> aufzulösen:
> [mm]2+\wurzel{3x(x-2)}=x[/mm]
>
> vielen dank schon im voraus
Gerne.
>
> fabse
Grüße
der_benni
>
>
> p.s.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
btw: wäre hilfreich, wenn du schon einen Lösungsansatz dazuschreibst - dann kann man sehen, woran's denn hakt - dazu zeigt es auch noch, dass du nicht einfach die Hausaufgaben von irgendjemandem gemacht haben willst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 So 11.09.2005 | | Autor: | mana |
hallo Benni, hab da mal ne Frage? müßte man nicht den ganzen Ausdruck, also die Summe links quadrieren und nicht Summandenweise????
das heißt alles in Klammern und dann Quadrat, dann mit binom.Formeln lösen???
denn 2+3=5 aber wenn man beide Seiten quadrieren sollte dann ist
[mm] 2^2+3^2\not= 5^2 [/mm] aber
[mm] (2+3)^2= 5^2 [/mm]
weißt du, was ich meine???
mfg Mana
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Salut!
> hallo Benni, hab da mal ne Frage? müßte man nicht den
> ganzen Ausdruck, also die Summe links quadrieren und nicht
> Summandenweise????
>
> das heißt alles in Klammern und dann Quadrat, dann mit
> binom.Formeln lösen???
>
> denn 2+3=5 aber wenn man beide Seiten quadrieren sollte
> dann ist
>
> [mm]2^2+3^2\not= 5^2[/mm] aber
>
> [mm](2+3)^2= 5^2[/mm]
Du hast vollauf Recht - wenn man schon den gesamten Summenausdruck quadrieren will, dann nur komplett - und somit am einfachsten unter Anwendung einer binomischen Formel.
Wobei es in meinen Augen im Endeffekt dann doch einfacher wäre, zuerst ein klein wenig umzuformen...
[mm]2+\wurzel{3(x-2)} = x \gdw \wurzel{3(x-2)} = x - 2 [/mm]
...und erst dann zu quadrieren:
[mm]3(x-2) = (x-2)^{2}[/mm].
So, dann teilen wir noch sinnvoll und fertig:
[mm]3(x-2) = (x-2)^{2} \gdw 3 = x - 2 \gdw 5 = x[/mm].
Au revoir!
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Hallo!
Also irgendwie verstehe ich das hier nicht ganz. Die erste Antwort war doch richtig, und al Lösung kommt x=2 und x=1 heraus, wenn ich mich nicht ganz verrechnet habe. Und die Probe stimmt. Setze ich 5 ein, so kommt eine unwahre Aussage heraus. Wenn man quadriert auf beiden Seiten, dann doch nicht alles in einer Klammer, oder? Quadrieren ist eine Punktrechnung. Und das kann man mit multiplizieren "vergleichen". Und beim multiplizieren nimmt man nicht die ganze Seite einer Gleichung mal, sondern nur jedes Glied! Oder sehe ich das hier komplett falsch? Versteht ihr mich?
Ehrlich gesagt bin ich auch sehr verunsichert, da ich glaube, dass Studenten sich ja nicht so stark irren können.
Also, was entgegnet mir meiner Probe (x=2 --> wahre Aussage)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 So 11.09.2005 | | Autor: | fabse |
erstmal vielen dank für eure antworten...
hab ja ne richtige diskussion ausgelöst 
ich bin aber auch der meinung, dass die erste antwort richtig war. bei mir kommt dann auch x=2 raus.also erst halt quadrieren, dann nullstellen und mit der mitternachtsformel x berechnen.
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Hi, Nils,
> Hallo!
> Also irgendwie verstehe ich das hier nicht ganz. Die erste
> Antwort war doch richtig,
Nein, denn so quadriert man keine Summe! (Binomische Formeln)
> und als Lösung kommt x=2 und x=1
> heraus, wenn ich mich nicht ganz verrechnet habe.
a) Selbst wenn das stimmen würde, wär's hier Zufall, aber:
b) Es stimmt ja nicht: x=1 ergibt - wenn man's in die Wurzel einsetzt - einen NEGATIVEN Radikanden! In der Wurzel aber darf (bei reeller Grundmenge - und davon wird man in einer 9. oder 10. Klasse wohl ausgehen dürfen) niemals eine negative Zahl stehen!
> Und die Probe stimmt.
Du darfst bei der Probe nicht in irgendeine umgeformte Gleichung einsetzen, sondern in die GEGEBENE GLEICHUNG, also in
[mm] 2+\wurzel{3x(x-2)} [/mm] = x
und wenn Du hier für x=1 setzt, erhältst Du - wie erwähnt:
[mm] 2+\wurzel{3*1*(1-2)} [/mm] = 1, was offensichtlich nicht geht!
mfG!
Zwerglein
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Hallo Zwerglein!
Ok, ich lasse mich gern eines besseren belehren. Aber mit dem ersten Lösungsweg kommt L={1;2} heraus. Das 1 nicht zu L gehören darf, leuchtet mir ein. Aber wir haben ja auch den "Fehler" gemacht, den Definitionsbereich nicht festzulegen. Und D schließt 1 ja aus, damit bleibt L={2} übrig. Und das ist ja das Gleiche, was du geschrieben hast.
Wie läuft das denn also ab (generell) mit dem Potenzieren in einer Gleichung. Jedes Glied potenzieren oder jeden Ausdruck auf einer Seite in Klammern???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 So 11.09.2005 | | Autor: | mana |
hallo Mathehelfer, also das mit 2+3= 5 usw war auch nur ein leichtes Beispiel für fabse und benni, damit die sehen, daß sie was falsch gemacht haben, denn man muß den ganzen Ausdruck quadrieren!!!!
falls man 2 nicht rüberbringt. und daß 2 eine Lösung ist, ist nur Zufall, also nie Gliedweise quadrieren.
gruß Mana
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Hallo mana!
Vielen Dank für deine schnelle Antwort! Werd´s mir merken. 
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Alle bisher angebotenen "Lösungen" haben irgendwo einen Fehler.
Hat man eine Wurzelgleichung, so versucht man immer, die Wurzel zu isolieren, sofern das möglich ist. Hier geht das durch Subtraktion von 2:
[mm]\sqrt{3x(x-2)} = x-2[/mm]
Normalerweise würde man jetzt die Gleichung quadrieren, um die Wurzel links zu entfernen. (Vorsicht! Das Quadrieren einer Gleichung ist keine Äquivalenzumformung. Es können sich "falsche Lösungen" dazuschleichen. Daher hinterher die Probe machen.) Hier aber geht es viel schneller. Man muß nur genau hinschauen. Nur so viel zum weiteren Vorgehen: Fallunterscheidung [mm]x=2[/mm] und [mm]x \neq 2[/mm]. Im zweiten Fall Gleichung durch [mm]\sqrt{x-2}[/mm] dividieren.
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Hi, fabse,
> hallo leute ich steh grad total aufm schlauch und wäre froh
> wenn mir hier jemand helfen könnte diese gleichug
> aufzulösen:
> 2+ [mm]\wurzel{3x(x-2)}=x[/mm]
>
Nun mal im Ernst (wobei Leopold Dir ja schon wichtige Hinweise gegeben hat!):
[mm] \wurzel{3x(x-2)}= [/mm] x-2
Quadrieren. (Wie Leoplod schon sagte: Keine Äquivalenzumformung; daher am Schluss Probe nötig!)
3x(x-2) = [mm] (x-2)^{2}
[/mm]
2 mögliche Lösungswege:
(1) Ausmultiplizieren, alles auf eine Seite, quadratische Gleichung lösen.
(2) Fallunterscheidung.
Ich führe Dir mal den 2. Weg vor:
1. Fall: x = 2 (Da wir durch x-2 dividieren wollen, müssen wir zunächst den Fall betrachten, dass dieser Term =0 ist, denn: durch 0 darf man nicht dividieren!)
x=2 eingesetzt ergibt:
3*2(2-2) = 2-2. Auf beiden Seiten kommt 0 raus: 0=0 ist eine wahre Aussage!
Heißt: x=2 ist schon mal eine Lösung.
Machen wir gleich die Probe in der Ausgangsgleichung:
2 + [mm] \wurzel{3*2(2-2)}= [/mm] 2 stimmt! Damit gehört x=2atsächlich zur gesuchten Lösungsmenge.
2. Fall: x [mm] \not= [/mm] 2; dann ist (x-2) nicht gleich 0 und man darf durch (x-2) dividieren:
3x(x-2) = [mm] (x-2)^{2} [/mm] | :(x-2)
3x = (x-2)
2x = -2
x = -1.
Probe:
2 + [mm] \wurzel{3*(-1)(-1-2)}= [/mm] 2 + [mm] \wurzel{3*3}= [/mm] 2 + 3 = 5 [mm] \not= [/mm] -1
Somit: x=-1 ist keine Lösung!
Gesamt-Lösungsmenge: L = [mm] \{2\}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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