erzeugende Funktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:07 Mi 16.06.2010 | | Autor: | noprop |
Hallo,
ich will für die Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{[\bruch{n}{3}]}\vektor{[\bruch{n-k}{2}] \\ k}*2^{[\bruch{n-k-2}{2}]}
[/mm]
eine Summenformel ableiten. Dafür würde ich gerne eine erzeugende Funktion verwenden. Das erste Problem ist aber, dass man dafür eine "recurrence", also eine rekursive Bildungsregel benötigt, die ich gar nicht habe. Die Summenformel habe ich aus einer Überlegung wie der abgeleitet, wie viele Kombinationen verschiedener Kugeln in wie vielen Fächern es gibt. Eine rekursive Bildungsregel taucht dabei nicht auf.
Nun kann man natürlich bei jeder Reihe eine rekursive Bildungsregel der Form [mm] a_{n+1}=a_{n}+b_{n+1} [/mm] mit
[mm] a_{n}=\summe_{k=1}^{[\bruch{n}{3}]}b_{k}
[/mm]
formulieren, so dass man ein nachfolgendes Reihenglied [mm] a_{n+1} [/mm] durch das Hinzuaddieren des Folgeglieds [mm] b_{n+1} [/mm] zum vorangehenden Reihenglied [mm] a_{n} [/mm] erhält.
So ist das mit der recurrence aber wahrscheinlich nicht gemeint, normalerweise wird das nachfolgende Reihenglied aus einem oder mehreren vorangegangenen Reihengliedern gebildet, Folgeglieder werden nicht verwendet.
Wenn ich nun doch die allgemeine Reihen-Bildungsregel mit einem Folgeglied mit [mm] x^{n} [/mm] multipliziere, wird die gesamte Bildungsvorschrift der Reihe durch das [mm] b_{n+1} [/mm] unverändert in eine der neuen Reihen übernommen, ohne dass dadurch der bisherige Ausdruck vereinfacht wird, wie das normalerweise ist:
[mm] a_{n+1}x^{n}=a_{n}x^{n}+b_{n+1}x^{n}=a_{n}x^{n}+\vektor{[\bruch{n-k}{2}] \\ k}*2^{[\bruch{n-k-2}{2}]}x^{n}
[/mm]
Nun müsste ich noch ein Rudiment des Folgeglieds beseitigen, indem ich das k ersetze, was eigentlich nur durch die neue obere Grenze [mm] [\bruch{n+1}{3}] [/mm] geschehen kann, wodurch der Binomialkoeffizient aber 1 wird und komplett herausfällt. Außerdem lässt man die obere Grenze der neuen Reihen, soweit ich es bisher gesehen habe, gegen [mm] \infty [/mm] laufen.
Kann mir jemand mal ein paar Tips geben, wie hier der richtige Ansatz aussehen muss?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 So 20.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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