endliche abelsche Gruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei G eine endliche abelsche Gruppe mit Exponenten e(G)=m d.h V x [mm] \varepsilon [/mm] G gilt [mm] x^m=1 [/mm] und [mm] m\varepsilon \IN [/mm] ist minimal mit dieser Eigenschaft.
Zeige [mm] \exists [/mm] g [mm] \in [/mm] G mit ord(g)=m |
Wenn man sich die Aufgabe anguckt scheint die Aufgabe einfach zu sein , aber irgendwie komme ich nicht durch.
Also meine Vorarbeit ,mit der ich nicht weitgekommen bin.
Also es gilt Für alle x [mm] \in [/mm] G : [mm] x^m=1 [/mm] ich könnte jetzt sagen ,dass dieses Polynom m nullstellen hat ,andererseits gilt die Gleichung für alle x [mm] \in [/mm] G => e(G)=#G (Kardinalität von G)
also #G=m
nun weiß ich noch m ist minimal und ord(g) | #G teilt
ich hoffe ihr könnt mir helfen
(Irgendwie habe ich das Gefühl ,ich hab es richtig gemacht ,aber komme nicht auf die Existenz für ein g mit ord(g)=m)
Andererseit habe ich es mit Lagrange versucht ,aber für Lagrange muss es bereits eine UG geben , ach ...... :(
LG ismail
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Mo 11.02.2013 | | Autor: | hippias |
> Sei G eine endliche abelsche Gruppe mit Exponenten e(G)=m
> d.h V x [mm]\varepsilon[/mm] G gilt [mm]x^m=1[/mm] und [mm]m\varepsilon \IN[/mm] ist
> minimal mit dieser Eigenschaft.
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> Zeige [mm]\exists[/mm] g [mm]\in[/mm] G mit ord(g)=m
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> Wenn man sich die Aufgabe anguckt scheint die Aufgabe
> einfach zu sein , aber irgendwie komme ich nicht durch.
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> Also meine Vorarbeit ,mit der ich nicht weitgekommen bin.
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> Also es gilt Für alle x [mm]\in[/mm] G : [mm]x^m=1[/mm] ich könnte jetzt
> sagen ,dass dieses Polynom m nullstellen hat ,andererseits
> gilt die Gleichung für alle x [mm]\in[/mm] G => e(G)=#G
> (Kardinalität von G)
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> also #G=m
Das ist nicht richtig: siehe Klein'sche Vierergruppe.
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> nun weiß ich noch m ist minimal und ord(g) | #G teilt
>
> ich hoffe ihr könnt mir helfen
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> (Irgendwie habe ich das Gefühl ,ich hab es richtig
> gemacht ,aber komme nicht auf die Existenz für ein g mit
> ord(g)=m)
Der Standardtip: Wenn [mm] $x\in [/mm] G$ ein Element maximaler Ordnung ist, dann zeige, dass [mm] $o(y)\vert [/mm] o(x)$ fuer alle [mm] $y\in [/mm] G$ gilt.
Mittels Induktion koennte man sich auch schnell auf $p$-Gruppen beschraenken, fuer welche die Behauptung mehr oder weniger trivial ist.
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> Andererseit habe ich es mit Lagrange versucht ,aber für
> Lagrange muss es bereits eine UG geben , ach ...... :(
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> LG ismail
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moin,
Kennst du den Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen?
Dieser sagt dir, dass deine endliche Gruppe isomorph ist zu [mm] $\IZ_{a_1} \times \IZ_{a_2} \times \ldots \times \IZ_{a_n}$ [/mm] mit [mm] $a_i \in \IN$ [/mm] und [mm] $a_i \mid a_{i+1}$.
[/mm]
Nun kann man in dieser Form den Exponenten der Gruppe sofort ablesen und auch ein Element angeben, das genau diese Ordnung hat.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Mo 11.02.2013 | | Autor: | Decehakan |
danke dein Tipp war die Pointe 
hätte gar nicht gedacht ,dass man mit dem Struktursatz über abelsche Gruppe sowas aussagen kann :)
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