endlich-dim. K-Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo
Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und sei f: V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus, so dass rg(f [mm] \circ [/mm] f) gilt. Zeigen Sie:
Kern (f) [mm] \cap [/mm] Bild (f)= 0 und Kern(f) +Bild(f)= V
Ich weiß, dass der Kern auf den Nullvektor abbildet und das Bild die Menge der Vektoren ist, die f tatsächlich annimmt.
Leider habe ich aber keine Ahnung, wie ich damit rechnen soll.
Ich hoffe, es kann mir jemand weiterhelfen
Vielen Dank
Sinus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Sinus!
> Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und sei f: V $ [mm] \to [/mm] $ V ein Endomorphismus, so dass rg(f $ [mm] \circ [/mm] $ f) gilt. Zeigen Sie:
Ich nehme an, du meinst [mm] $rg(f\circ [/mm] f)=rg(f)$; richtig?
Überlege dir folgendes:
Es ist [mm] $Bild(f\circ f)\subset [/mm] Bild(f)$. Allerdings gilt nach Voraussetzung auch [mm] $dim(Bild(f\circ [/mm] f)) = [mm] rg(f\circ [/mm] f) = rg(f)=dim(Bild(f))$. Zusammen folgt [mm] $Bild(f\circ [/mm] f)=Bild(f)$. Gleiches gilt für den Kern: es ist [mm] $Kern(f)\subset Kern(f\circ [/mm] f)$, jedoch [mm] $dim(Kern(f\circ [/mm] f)) = n-dim(Bild(f)) = [mm] n-dim(Bild(f\circ [/mm] f)) = dim(Kern(f))$; zusammen also [mm] $Kern(f\circ [/mm] f)=Kern(f)$.
Betrachte nun einen Vektor [mm] $v\in Bild(f)\cap [/mm] Kern(f)$. Einerseits existiert dann wegen [mm] $v\in [/mm] Bild(f)$ ein [mm] $w\in [/mm] V$ mit $f(w)$. Andererseits ist aber auch $f(v)=f(f(w))=0$. Also ist [mm] $w\in Kern(f\circ [/mm] f)$. Nun musst du nur noch [mm] $Kern(f)=Kern(f\circ [/mm] f)$ einbinden und du erhältst schnell $v=0$.
Die zweite Behauptung folgt nun sofort: nach dem Homomorphiesatz ist $dim(Kern(f))+dim(Bild(f))=dim(V)=n$. Weiter ist $dim(Bild(f)+Kern(f)) = [mm] dim(Bild(f))+dim(Kern(f))-dim(Bild(f)\cap [/mm] Kern(f))$. Zusammen mit [mm] $Bild(f)\cap [/mm] Kern(f)=0$ folgt dann sofort $V=Bild(f)+Kern(f)$.
Liebe Grüße,
Hanno
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