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| Aufgabe | Sei k ein körper, sei V ein Vektroraum über k, und sei f: V-->V eine lin. Abb., die der gleichung f°f=f genügt.
Zeigen sie, dass jeder vektor v [mm] \in [/mm] V eindeutig geschrieben werden kann als [mm] v=v_1 [/mm] + [mm] v_2 [/mm] mit [mm] v_1 \in [/mm] Ker(f), [mm] v_2 \in [/mm] Im(f)
Hinweis: Bemerken sie, dass v-f(v) [mm] \in [/mm] Ker(f). weiter rechnen sie aus, dass Ker(f) [mm] \cap [/mm] Im(f)={0} |
f°f=f bedeutet doch: jedes element mit sich selbst verknüpft ergibt wieder sich selbst!?
das würde doch bedeuten, dass nur die 0 auf die 0 abbildet. also würde nur die 0 im kern von f liegen.
also müsste doch auch v-f(v)=0 gelten
=> v=f(v)
aber irgendwie is das alles nicht das wahre. wäre sehr dankbar für einen denkanstoss.
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Fr 07.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
f ist ja nicht ein Vektor, sondern f(v)
[mm] f\circ [/mm] f=f heisst wenn w=f(v) dann gilt f(w)=f(f(v))=f(v)
wenn du also f auf v+f(v) anwendest hast du f(v-f(v) und weil f linear ist: f(v-f(v))=f(v)-f(f(v)=f(v)-f(v)=0
dazu muss v nicht 0 sein.
Gruss leduart
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