direk Summe Eigenräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Mo 14.05.2007 | | Autor: | AriR |
hey leute,
in dem beweis, dass die summe der eigenräume direkt ist wird folgendes gemacht:
man betrachtet die summe [mm] \summe v_i [/mm] mit [mm] v_i\in\lambda_i, [/mm] wobei [mm] \lambda_i [/mm] der i-te EW ist.
dann wird gesagt, da die [mm] v_i [/mm] EV zu verschiedenen EV sind, ist die summe direkt.
das wäre ja auch ok, wenn jeder eigenraum die dimension 1 hätte aber was ist wenn man auch einen eigenraum der dim 2 hat?
dann kann es doch sein, dass man für manche eigenräume mehr als nur einen vektor [mm] v_i [/mm] betrachten muss.
ich hoffe ihr versteht ca was ich meine.
gruß ari :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Mo 14.05.2007 | | Autor: | statler |
Hey!
> man betrachtet die summe [mm]\summe v_i[/mm] mit [mm]v_i\in\lambda_i,[/mm]
> wobei [mm]\lambda_i[/mm] der i-te EW ist.
> dann wird gesagt, da die [mm]v_i[/mm] EV zu verschiedenen EV sind,
> ist die summe direkt.
>
> das wäre ja auch ok, wenn jeder eigenraum die dimension 1
> hätte aber was ist wenn man auch einen eigenraum der dim 2
> hat?
Die Dimensionen der Eigenräume spielen doch für deinen Beweis gar keine Rolle. Wenn v im Durchschnitt zweier Eigenräume (zu [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2}) [/mm] liegt, dann ist [mm] \lambda_{1}\*v [/mm] = Av = [mm] \lambda_{2}\*v [/mm] und damit v = 0. Also ist die Summe jedenfalls direkt.
> dann kann es doch sein, dass man für manche eigenräume mehr
> als nur einen vektor [mm]v_i[/mm] betrachten muss.
Nee. Du betrachtest für je 2 Eigenräume einen Vektor aus dem Durchschnitt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Mo 14.05.2007 | | Autor: | AriR |
asoo danke
ich bin irgendwie davon ausgegangen, dass die [mm] v_i [/mm] basisvektoren sind. ka warum :D
gruß
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