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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Mo 25.04.2011 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Summe [mm] \summe_{k=m}^{n}\vektor{k \\ m}\vektor{n \\ k} [/mm] für natürliche Zahlen [mm] m\le [/mm] n (d.h. fi nden Sie eine einfache Formel, in der keine Summe mehr vorkommt). |
Hallo ihr lieben, ich hab jetzt ne weile daran rumgedreht und bin an folgendem punkt :
[mm] \summe_{k=m}^{n}\vektor{k \\ m}\vektor{n \\ k}=
[/mm]
[mm] =\summe_{k=m}^{n} \bruch{k!}{m!*(k-m)!}*\bruch{n!}{k!*(n-k)!}=
[/mm]
[mm] =\bruch{n!}{m!}*\summe_{k=m}^{n} \bruch{1}{(k-m)!*(n-k)!}= [/mm]
[mm] =\bruch{n!}{m!}*[\bruch{1}{(m-m)!*(n-m)!}+\bruch{1}{(m+1-m)!*(n-(m+1))!}+\bruch{1}{(m+2-m)!*(n-(m+2))!}+...+\bruch{1}{(n-2-m)!*(n-(n-2))!}+\bruch{1}{(n-1-m)!*(n-(n-1))!}+\bruch{1}{(n-m)!*(n-n)!}]=
[/mm]
[mm] =\bruch{n!}{m!}*[\bruch{1}{0!*(n-m)!}+\bruch{1}{1!*(n-(m+1))!}+\bruch{1}{(2!*(n-(m+2))!}+...+\bruch{1}{(n-2-m)!*2!}+\bruch{1}{(n-1-m)!*1!}+\bruch{1}{(n-m)!*0!}]
[/mm]
weiter komme ich leider im moment nicht...
aber vielleicht bin ich ja auch auf dem holzweg und man muss da ganz anders rangehen?
für hinweise wäre ich sehr dankbar!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Mo 25.04.2011 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie die Summe [mm]\summe_{k=m}^{n}\vektor{k \\ m}\vektor{n \\ k}[/mm]
> für natürliche Zahlen [mm]m\le[/mm] n (d.h. fi nden Sie eine
> einfache Formel, in der keine Summe mehr vorkommt).
> Hallo ihr lieben, ich hab jetzt ne weile daran rumgedreht
> und bin an folgendem punkt :
> [mm]\summe_{k=m}^{n}\vektor{k \\ m}\vektor{n \\ k}=[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=m}^{n} \bruch{k!}{m!*(k-m)!}*\bruch{n!}{k!*(n-k)!}=[/mm]
>
> [mm]=\bruch{n!}{m!}*\summe_{k=m}^{n} \bruch{1}{(k-m)!*(n-k)!}=[/mm]
> [mm]=\bruch{n!}{m!}*[\bruch{1}{(m-m)!*(n-m)!}+\bruch{1}{(m+1-m)!*(n-(m+1))!}+\bruch{1}{(m+2-m)!*(n-(m+2))!}+...+\bruch{1}{(n-2-m)!*(n-(n-2))!}+\bruch{1}{(n-1-m)!*(n-(n-1))!}+\bruch{1}{(n-m)!*(n-n)!}]=[/mm]
>
> [mm]=\bruch{n!}{m!}*[\bruch{1}{0!*(n-m)!}+\bruch{1}{1!*(n-(m+1))!}+\bruch{1}{(2!*(n-(m+2))!}+...+\bruch{1}{(n-2-m)!*2!}+\bruch{1}{(n-1-m)!*1!}+\bruch{1}{(n-m)!*0!}][/mm]
>
> weiter komme ich leider im moment nicht...
> aber vielleicht bin ich ja auch auf dem holzweg und man
> muss da ganz anders rangehen?
Ich würde mal ein wenig probieren. Für m=0 ergibt sich die Summe [mm] 2^n.
[/mm]
Was erhältst du für andere feste Werte von m?
Gruß Abakus
> für hinweise wäre ich sehr dankbar!
> lg
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ok:
für m=1 ergibt sich [mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{k\\ 1}\vektor{n \\ k}= \summe_{k=1}^{n}k*\vektor{n \\ k}=n*2^{n-1}
[/mm]
so, wieter weiß ich jedoch auch nicht, denn für k=2 lässt sich der erste faktor meiner meinung nach nicht so vereinfachen...oder doch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 27.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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