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| Aufgabe | beweise die existenz der umkehrfunktion!
f(x)= [mm] \bruch{x}{\wurzel{1+x^2}} [/mm] ; definitionsmenge= [mm] \IR [/mm] |
zuerst hab ich die ableitung gebildet, und rausgefunden, dass die ableitung > 0 ist, also die funktion auch umkehrbar ist!
um die umkehrfunktion zu erhalten, führe ich den variablentausch durch und löse nach y auf.
dann ergibt sich für die umkehrfunktion:
y= +/- [mm] \bruch{x}{\wurzel{1-x^2}};
[/mm]
aber wie geht es dann weiter? woher weiß ich, für welchen definitionsbereich ich [mm] -\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] und wann [mm] +\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}; [/mm] brauche?
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Mi 07.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Erika,
> beweise die existenz der umkehrfunktion!
> f(x)= [mm]\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}}[/mm] ; definitionsmenge= [mm]\IR[/mm]
> zuerst hab ich die ableitung gebildet, und rausgefunden,
> dass die ableitung > 0 ist, also die funktion auch
> umkehrbar ist!
> um die umkehrfunktion zu erhalten, führe ich den
> variablentausch durch und löse nach y auf.
> dann ergibt sich für die umkehrfunktion:
> y= +/- [mm]\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}};[/mm]
> aber wie geht es dann weiter? woher weiß ich, für welchen
> definitionsbereich ich [mm]-\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}[/mm] und wann
> [mm]+\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}};[/mm] brauche?
Bis hierher hast Du alles richtig gemacht !
Du mit der Angabe des Wertebereichs von f (dem sogenannten "Bild" von f)
bereits fertig, denn du brauchtest nur die Existenz zeigen .
Wenn Du die Umkehrfunktion auch explizit angeben möchtest, mußt Du dir noch ein paar Gedanken über die Lösungsmenge von quadratischen Gleichungen machen.
Daß Du 2 Funktionen als "Lösung" fur Dein Problem gefunden hast, liegt daran, daß das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist,d.h es können zu den eigentlichen Lösungen noch Lösungen dazukommen - genau das ist hier passiert !
Um herauszufinden welche Funktion die gesuchte Umkehrfunktion ist, mußt du dir Gedanken machen, welche Werte die Funktion f überhaupt annehmen kann.
Du wirst dann bemerken, daß : y > 0 [mm] \gdw [/mm] x > 0
Diese Aquivalenz bestimmt dir die gesuchte Funktion eindeutig (So muß es ja auch sein, denn Du weißt bereits, daß [mm] f:\IR [/mm] -> (-1,1) umkehrbar ist .
LG
Heiko
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