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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Do 04.11.2004 | | Autor: | joas |
wie kann ich beweisen, dass folgender satz gilt:
a1,...,an positive zahlen
b1,....,bn eine beliebige umordnung der ai (permutation)
[mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{a_{k}}{b_{k}}[/mm] [mm] \ge[/mm]n
ich habe leider gar keine ahnung
vielen dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:45 So 07.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Es gilt zunächst:
$0 [mm] \le (a_k [/mm] - [mm] b_k)^2 [/mm] = [mm] a_k^2 [/mm] - [mm] 2a_kb_k [/mm] + [mm] b_k^2$,
[/mm]
also:
[mm] $2a_k b_k \le a_k^2 [/mm] + [mm] b_k^2$,
[/mm]
und damit wegen [mm] $a_kb_k>0$:
[/mm]
$2 [mm] \le \frac{a_k^2 + b_k^2}{a_kb_k}$.
[/mm]
Damit erhalten wir:
$2n = [mm] \sum\limits_{k=1}^n [/mm] 2 [mm] \le \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_k^2 + b_k^2}{a_k b_k} [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=1}^n \left( \frac{a_k}{b_k} + \frac{b_k}{a_k} \right) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k} [/mm] + [mm] \sum\limits_{k=1}^n \frac{b_k}{a_k} [/mm] = 2 [mm] \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k}$, [/mm]
woraus die Behauptung folgt.
Frag bitte nach, wenn noch was unklar ist.
Liebe Grüße
Stefan
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