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arctan(x+y) = ?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Di 15.04.2008
Autor: abi2007LK

Hallo,

im Zusammenhang mit einer Aufgabe ist mir eine Umformung, die Teil der Lösung ist nicht ganz klar. Hier ist sie:

Mit Hilfe der Substitution z:= t-x ergibt sich:

arctan(x+y) = [mm] \integral_{0}^{x+y}{\frac{1}{1+t^2} dt} [/mm]

Wie geht das? arctan ist ja als Potenzreihe definiert. Es scheint da einen Zusammenhang zwischen Reihen und der Integralrechnung zu geben... in meinen Büchern habe ich dazu leider nichts gefunden...

        
Bezug
arctan(x+y) = ?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 Di 15.04.2008
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Das hier ist ein fieser Trick:

[mm] \frac{d}{dt}arctan(t)=\frac{1}{1+t^2} [/mm]


integrieren:

[mm] \int\frac{d}{dt}arctan(t)\,dt=\int\frac{1}{1+t^2}dt [/mm]

[mm] arctan(t)=\int\frac{1}{1+t^2}dt [/mm]


Das hier:

[mm] \frac{d}{dt}arctan(t)=\frac{1}{1+t^2} [/mm]

solltest du aus

[mm] f'(x)=\frac{1}{(f^{-1}(x))'}=\frac{1}{\tan(x)'}=\frac{1}{\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)'} [/mm]


herausbekommen.


Bezug
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