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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Di 14.12.2010 | | Autor: | pppppp |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des DGL DGL
[mm]y'''(x)+3y''(x)+4y'(x)+2y(x)=0[/mm] |
Am Ende erhalte ich als Lösung
[mm]y(x)=c_1e^-^x+c_2e^-^1cos(x)+c_3e^-^1cos(-x)+c_4e^-^1sin(x)+c_5e^-^1sin(-x)[/mm] [mm]c_j \epsilon iR[/mm]
aber ich weiss nicht ob ich es so stehen lassen kann oder ob ich
a) [mm]e^-^1[/mm] weglassen kann, da es ein konstanter Faktor ist
b) wegen cos(x)=cos(-x)hier eine doppelte Nullstelle vorhanden ist
c) wegen sin(-x)= -1 * sin(x) das -1 als konstantes Element wegfällt und hier auch eine doppelte Nullstelle vorliegt.
Wenn ich das alles mache würde mein Ergebnis so aussehen:
[mm]y(x)=c_1e^-^x+c_2cos(x)+c_3x cos(x)+c_4sin(x)+c_5x sin(x)[/mm]
aber ich weiss nicht welche der beiden Varianten korrekt ist :-/
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Hallo pppppp,
> Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des DGL DGL
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> [mm]y'''(x)+3y''(x)+4y'(x)+2y(x)=0[/mm]
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> Am Ende erhalte ich als Lösung
>
> [mm]y(x)=c_1e^-^x+c_2e^-^1cos(x)+c_3e^-^1cos(-x)+c_4e^-^1sin(x)+c_5e^-^1sin(-x)[/mm]
> [mm]c_j \epsilon iR[/mm]
Da hast Du Dich verschrieben, die allgemeine reelle Lösung lautet:
[mm]y(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{-\blue{x}}cos(x)+c_3e^{-\blue{x}}sin(x)[/mm]
Eine DGL 3. Ordnung hat nur 3 Fundamentallösungen.
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> aber ich weiss nicht ob ich es so stehen lassen kann oder
> ob ich
> a) [mm]e^-^1[/mm] weglassen kann, da es ein konstanter Faktor ist
> b) wegen cos(x)=cos(-x)hier eine doppelte Nullstelle
> vorhanden ist
> c) wegen sin(-x)= -1 * sin(x) das -1 als konstantes
> Element wegfällt und hier auch eine doppelte Nullstelle
> vorliegt.
>
> Wenn ich das alles mache würde mein Ergebnis so aussehen:
>
> [mm]y(x)=c_1e^-^x+c_2cos(x)+c_3x cos(x)+c_4sin(x)+c_5x sin(x)[/mm]
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> aber ich weiss nicht welche der beiden Varianten korrekt
> ist :-/
>
Gruss
MathePower
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