akustischer/optischer Zweig < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Mi 25.01.2012 | | Autor: | volk |
Hallo,
ich möchte aus der Gleichung [mm] \Omega^2=c*(\bruch{1}{M_{1}}+\bruch{1}{M_{2}}){\pm}c\wurzel{(\bruch{1}{M_{1}}+\bruch{1}{M_{2}})^2-\bruch{4}{M_{1}M_{2}}sin^2(\bruch{K*a}{2})} [/mm] die Gleichungen für den optischen uund den akustischen Zweig (bei Gitterschwingungen in einem Festkörper) bestimmen.
Für kleine Wert von k, also k*a << 1:
[mm] \Omega^{+}=\wurzel{2c(\bruch{1}{M_{1}}+\bruch{1}{M_{2}})} [/mm] <-- angenommen, dass [mm] sin^2(\bruch{ka}{2}){\to}0
[/mm]
[mm] \Omega^{-}: [/mm] hier kann man so nicht argumentieren, da die Gleichung sonst 0 ergeben würde. Also nehme ich hier den ersten Term der Taylorentwicklung [mm] \to sin^2(\bruch{ka}{2}){\to}(\bruch{ka}{2})^2
[/mm]
[mm] \Omega^{-}^2=c*(\bruch{1}{M_{1}}+\bruch{1}{M_{2}})-c\wurzel{(\bruch{1}{M_{1}}+\bruch{1}{M_{2}})^2-\bruch{k^2a^2}{M_{1}M_{2}}}
[/mm]
Hier hänge ich jetzt. Das Ergebnis ist [mm] \Omega^{-}=ka\wurzel{\bruch{c}{2(M_{1}+M_{2})}}
[/mm]
Aber egal wie ich das rechne, ich komme nicht auf das Ergebnis.
Kann es sein, dass mein Ansatz mit der Taylorentwicklung schon falsch ist?
Liebe Grüße
volk
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Mi 25.01.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
> [mm] \Omega^{-}^2=c*\left(\bruch{1}{M_{1}}+\bruch{1}{M_{2}}\right)-c\wurzel{\left(\bruch{1}{M_{1}}+\bruch{1}{M_{2}}\right)^2-\bruch{k^2a^2}{M_{1}M_{2}}}
[/mm]
>
> Hier hänge ich jetzt. Das Ergebnis ist
> [mm] \Omega^{-}=ka\wurzel{\bruch{c}{2(M_{1}+M_{2})}}
[/mm]
Gehen wir von dem Term
[mm] c*\left(\bruch{1}{M_{1}}+\bruch{1}{M_{2}}\right)-c\wurzel{\left(\bruch{1}{M_{1}}+\bruch{1}{M_{2}}\right)^2-\bruch{k^2a^2}{M_{1}M_{2}}} [/mm] aus
In der Wurzel den Ausdruck [mm] \left(\bruch{1}{M_{1}}+\bruch{1}{M_{2}}\right)^2 [/mm] ausklammern ergibt
[mm] c*\left(\bruch{1}{M_{1}}+\bruch{1}{M_{2}}\right)*\left[1-\wurzel{1-\left(\bruch{ka\wurzel{M_1*M_2}}{M_1+M_2}\right)^2}
\right]
[/mm]
für die Wurzel [mm] \wurzel{1-x^2} [/mm] die Näherung [mm] 1-\bruch{x^2}{2} [/mm] benutzen ergibt
[mm] c*\bruch{k^2a^2}{2\left(M_1+M_2\right)}
[/mm]
Dann noch Wurzel ziehen und fertig.
|
|
|
|
