Äußeres Produkt, k-Form < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $\sigma_1,\dotso,\sigma_n$ [/mm] eine Basis von [mm] $V^{\ast}$ [/mm] und [mm] $\omega^1=\sum a_i\sigma_i$,$\eta^1=\sum b_i\sigma_i$ [/mm] zwei beliebige Elemente aus [mm] $V^{\ast}$ [/mm] sowie [mm] $\mu^2=\sum c_{ij}\sigma_i\wedge\sigma_j$ [/mm] eine 2-Form.
a) Berechnen Sie [mm] $\omega^1\wedge\eta^1$
[/mm]
b) Berechnen Sie [mm] $\omega^1\wedge\mu^2$ [/mm] |
Hallo,
ich würde gerne das äußere Produkt dieser k-Formen bestimmen.
Definiert ist das äußere Produkt wie folgt:
[mm] $(\omega^k\wedge\eta^l)(v_1,\dotso, v_{k+l})=\frac{1}{k!l!}\sum_{\sigma\inS_{k+l}} sgn(\sigma)\omega^k(v_{\sigma(1)},\dotso,v_{\sigma(k)}\eta^l(v_{\sigma(k+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})$
[/mm]
Gerechnet habe ich nun folgendes:
[mm] $(\omega^1\wedge\eta^1)(\sigma_1,\sigma_2)=\sum_{\rho\in S_2}sgn(\rho)\omega^1(\sigma_{\rho(1)})\eta^1(\sigma_{\rho(2)})$
[/mm]
Hier habe ich die Frage, ob ich für [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] in der Definition, wirklich die Basis [mm] $\sigma_1$ [/mm] und [mm] $\sigma_2$ [/mm] aus der Aufgabenstellung nehme, weil da bin ich mir nicht sicher...
Meine zweite Frage ist, wie man das äußere Produkt eigentlich ließt? Sagt man einfach [mm] $\omega^1$ [/mm] "Dach" [mm] $\eta^1$, [/mm] oder gibt es einen bestimmten Begriff?
Nun bestimme ich das Signum.
[mm] $S_2$ [/mm] hat zwei Elemente. Die Identität und die Transposition, welche 1 und 2 vertauscht.
[mm] $\rho_1(1)=1$
[/mm]
[mm] $\rho_1(2)=2$
[/mm]
und
[mm] $\rho_2(1)=2$
[/mm]
[mm] $\rho_2(2)=1$
[/mm]
Dann sollte das Signum jeweils:
[mm] $sgn(\rho_1)=1$ [/mm] und [mm] $sgn(\rho_2)=-1$
[/mm]
sein.
Damit erhalte ich nun erstmal
[mm] $\omega^1(\sigma_1)\eta^1(\sigma_2)-\omega^1(\sigma_2)\eta^1(\sigma_1)$
[/mm]
Was mich nun verwirrt ist, dass [mm] $\omega^1$ [/mm] und [mm] $\eta^1$ [/mm] ja Linearkombinationen sind.
Was soll dann aber etwa [mm] $\omega^1(\sigma_1)$ [/mm] sein, für den Fall, dass es nicht bereits falsch ist?
Vielen Dank im voraus.
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Ich sollte mir angewöhnen den Fälligkeitszeitrum meiner Fragen zu erhöhen.
Das vergesse ich jedes mal.
Ich weiß leider nicht ob ich meine Frage im richtigen Unterforum gestellt habe, wenn nicht, dann bitte verschieben.
Über Antworten würde ich mich noch immer sehr freuen.
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:20 Sa 04.07.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Sa 04.07.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo implizite Funktion,
ich hätte das Thema ja eher der Analysis III zugeordnet. Zumindest habe ich dort das Thema kennengelernt.
Eigentlich ist die konkrete Berechnung relativ einfach.
Zu deinen Fragen:
> Definiert ist das äußere Produkt wie folgt:
>
> [mm](\omega^k\wedge\eta^l)(v_1,\dotso, v_{k+l})=\frac{1}{k!l!}\sum_{\sigma\inS_{k+l}} sgn(\sigma)\omega^k(v_{\sigma(1)},\dotso,v_{\sigma(k)}\eta^l(v_{\sigma(k+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})[/mm]
>
> Gerechnet habe ich nun folgendes:
>
> [mm](\omega^1\wedge\eta^1)(\sigma_1,\sigma_2)=\sum_{\rho\in S_2}sgn(\rho)\omega^1(\sigma_{\rho(1)})\eta^1(\sigma_{\rho(2)})[/mm]
>
> Hier habe ich die Frage, ob ich für [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] in der
> Definition, wirklich die Basis [mm]\sigma_1[/mm] und [mm]\sigma_2[/mm] aus
> der Aufgabenstellung nehme, weil da bin ich mir nicht
> sicher...
Nein. Eine k-Form ist ja eine Abb. [mm] \omega:V^k\to \IR. [/mm] Die Linearformen [mm] $\sigma_1,\sigma_k\in V^\ast=\{\phi:V\to\IR|\phi\mbox{ linear}\}$ [/mm] mit [mm] $\Lambda^kV^\ast\ni\sigma_1\wedge...\wedge\sigma_k:V^k\to\IR$ [/mm] haben das äußere Produkt
[mm] $$\sigma_1\wedge...\wedge\sigma_k(v_1,...,v_k)=det\left(\pmat{ \sigma_1(v_1) & ... & \sigma_1(v_k) \\ \vdots & & \vdots \\ \sigma_k(v_1) & ... & \sigma_k(v_k) }\right)\mbox{ mit }v_i\in [/mm] V$$
Sind [mm] $\sigma_1,...,\sigma_n$ [/mm] eine Basis von [mm] $V^\ast$, [/mm] dann ist [mm] $\sigma_{i_1},...,\sigma_{i_k}$ [/mm] mit [mm] $1\le i_1<...
In deiner Formel des äußeren Produktes wurde das Produkt der Linearformen bereits verrechnet...
> Meine zweite Frage ist, wie man das äußere Produkt
> eigentlich ließt? Sagt man einfach [mm]\omega^1[/mm] "Dach" [mm]\eta^1[/mm],
> oder gibt es einen bestimmten Begriff?
Ich lese es immer als "Dach" und bisher hat mich jeder verstanden. 
Frag doch einfach deinen Professor.
LG
Ladon
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Hallo Ladon,
dieses Themengebiet habe ich in der Analysis III nicht kennengelernt.
Dort haben wir uns hauptsächlich mit Maßtheorie beschäftigt und am Ende etwas Topologie gemacht.
Ich habe mir nun ein Lehrbuch zugelegt, mit dem ich mir das Thema selber erarbeiten möchte.
Tatsächlich war auch der Begriff des Dualraumes für mich neu.
Jetzt wo du es schreibst, fällt mir auf, dass es sich ja im Grunde bei der Summe um die Leibniz-Formel zur Berechnung der Determinante handelt.
Das sehe ich richtig, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 So 05.07.2015 | | Autor: | Ladon |
Da hast du wohl Recht. 
Ich kannte vor deiner Frage die von dir gegebene Definition gar nicht. Sie sollte aber via Leibniz Formel äquivalent sein. Rechne es doch mal nach.
VG
Ladon
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