Äquivalenz zeigen - Eigenvekto < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 So 10.01.2010 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | Äquivalenz folgender Aussagen:
(1) Alle Vektoren [mm] x\in K^n\{0} [/mm] sind Eigenvektoren von A
(2) Es gibt ein [mm] \lambda\in [/mm] K mit [mm] A=\lambda*En
[/mm]
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Hallo, könnnte mir mitte mal jemand genau erklären, warum die beiden Aussagen äquivalent sind?
Ich habe diese Frage auch auf Matheboard.de gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 So 10.01.2010 | | Autor: | LariC |
Hey - es würde mir auch reichen die Hinrichtung erklärt zu bekommen, da ich die Rückrichtung soweit verstanden habe - aber für ein Äquivalentz müssten ja beide Richtungen stimmen und bei der Hinrichtung ist mir das leider nicht klar!
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Hallo LariC,
> Äquivalenz folgender Aussagen:
> (1) Alle Vektoren [mm]x\in K^n\{0}[/mm] sind Eigenvektoren von A
> (2) Es gibt ein [mm]\lambda\in[/mm] K mit [mm]A=\lambda*En[/mm]
Also (1) [mm] \Rightarrow [/mm] (2):
Was bedeutet, dass alle [mm] x\in K^{n}\textbackslash\{0\} [/mm] Eigenvektoren von A sind:
Für jedes [mm] x\in K^{n}\textbackslash\{0\} [/mm] existiert ein [mm] \lambda \in [/mm] K:
$Ax = [mm] \lambda*x$
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $(A-\lambda*E_{n})*x [/mm] = 0$
(Nun könnte man "schnell" hingucken und sagen: Ah, wenn für jedes [mm] K^{n}\textbackslash\{0\} [/mm] obige Gleichung gilt, muss [mm] (A-\lambda*E_{n}) [/mm] die Nullmatrix sein --> A = [mm] \lambda*E_{n}. [/mm] Es gibt aber ein wesentliches Problem: Da uns nicht gegeben ist, dass alle Eigenvektoren zu genau einem Eigenwert gehören, müsste man das noch folgern - dazu fällt mir aber gerade nichts ein...).
Grüße,
Stefan
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> Äquivalenz folgender Aussagen:
> (1) Alle Vektoren [mm]x\in K^n\{0}[/mm] sind Eigenvektoren von A
> (2) Es gibt ein [mm]\lambda\in[/mm] K mit [mm]A=\lambda*En[/mm]
>
> Hallo, könnnte mir mitte mal jemand genau erklären, warum
> die beiden Aussagen äquivalent sind?
Hallo,
mal als Idee:
wenn alle Vektoren Eigenvektoren sind, dann gilt das auch für die Basis [mm] (b_1, ...b_n).
[/mm]
Also ist die darstellende Matrix der Abbildung f bzgl. dieser Basis eine diagonalmatrix [mm] diag(\lambda_1, [/mm] ..., [mm] \lambda_n)
[/mm]
Es kommt nun darauf an, daß man irgendwie zeigt, daß die [mm] \lambda_i [/mm] allesamt gleich sind.
Das kannst Du so machen: wenn jeder vektor ein EV ist, dann auch [mm] v_1+v_2.
[/mm]
Also ist [mm] f(v_1+v_2)=\lambda (v_1+v_2)
[/mm]
Gleichzeitig ist [mm] f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2.
[/mm]
Also [mm] \lambda (v_1+v_2)=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2.
[/mm]
Und nun überleg Dir, warum die alle gleich sind.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 So 10.01.2010 | | Autor: | LariC |
Ja - klar - umstellen - ausklammern und sehen das die Lambdas Gkeich sein müssen, damit NUll rauskommt - super - wie kommt man bloß auf so geniale Ideen!!??
Danke euch allen!
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