abgeschlossene Menge < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Fr 08.10.2010 | | Autor: | hula |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: F abgeschlossen $\ [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] (\partial F)^{\circ}= \emptyset [/mm] |
Abend,
Leider schaff ich es nicht die obige Aussage zu beweisen :(. Ich hab's über $\ [mm] \partial [/mm] F = (F [mm] \backslash F^{\circ})^{\circ} [/mm] $ versucht ohne Erfolg. Wäre super, wenn mir jemand helfen würde. Danke jetzt schon!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Fr 08.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie: F abgeschlossen [mm]\ \Rightarrow[/mm] [mm](\partial F)^{\circ}= \emptyset[/mm]
>
> Leider schaff ich es nicht die obige Aussage zu beweisen
> :(. Ich hab's über [mm]\ \partial F = (F \backslash F^{\circ})^{\circ}[/mm]
Da fehlt ein [mm] $\circ$ [/mm] auf der linken Seite, oder?
> versucht ohne Erfolg. Wäre super, wenn mir jemand helfen
> würde. Danke jetzt schon!
Ich wuerd's per Widerspruch versuchen, bzw. per Kontraposition.
Sei dazu angenommen, dass es ein $x [mm] \in (\partial F)^\circ$ [/mm] gibt. Das bedeutet, dass es eine offene Umgebung $U$ von $x$ gibt, die vollstaendig in [mm] $\partial [/mm] F$ liegt.
Also: jeder Punkt aus $U$ ist ein Randpunkt von $F$, sprich in jeder Umgebung von jedem Punkt von $U$ finden sich Punkte aus $F$ und Punkte, die nicht aus $F$ sind.
Versuche damit z.B., eine Folge zu konstruieren, deren Folgenglieder in $F$ liegen, die aber gegen etwas ausserhalb von $F$ konvergiert. Das wuerde bedeuten, dass $F$ nicht abgeschlossen ist.
LG Felix
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