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Hallo Ihr,
ich habe hier folgende Aufgabe:
g(x) = [mm] \wurzel{x^3}
[/mm]
Sie ist nur in dem Integral [0;4] definiert.
Dieser Graph rotiert um die x-Achse und es wird ein Zylinder, dessen Achse die x-Achse ist, einbeschrieben.
Welchen Radius und welche Höhe hat der Zylinder mit maximalem Volumen?
Ich habe dazu eine Lösung, die ich euch jedoch vorenthalten möchte, da ich sie nicht verstehe und sehen will, ob ihr es auf die selbe Weise löst oder anders.
Schreibt mal eure Lösungsvorschläge zurück,
euerMathematiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Do 08.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo DerMathematiker,
> g(x) = [mm] \wurzel{x^3}
[/mm]
>
> Sie ist nur in dem Integral [0;4] definiert.
Intervall 
> Dieser Graph rotiert um die x-Achse und es wird ein
> Zylinder, dessen Achse die x-Achse ist, einbeschrieben.
>
> Welchen Radius und welche Höhe hat der Zylinder mit
> maximalem Volumen?
>
> Ich habe dazu eine Lösung, die ich euch jedoch vorenthalten
> möchte, da ich sie nicht verstehe und sehen will, ob ihr es
> auf die selbe Weise löst oder anders.
>
> Schreibt mal eure Lösungsvorschläge zurück,
Hast du (selbst) gar keine eigenen Ideen dazu?
Ich skizziere nur meinen Lösungsweg.
Dies ist also eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung.
Die Extremalbedingung ist die Funktion [mm] $V(r;h)=\ldots$, [/mm] die in Abhängigkeit von $h$ (Höhe) und $r$ (Radius) des Zylinders dessen Volumen angibt.
Die Nebenbedingung (die die beiden Variable $r$ und $h$ in Beziehung zueinander setzt) ist der Graph der Funktion $g$, denn der Zylinderboden richtet sich ja nach dessen Ausmassen.
Es gilt offenbar: $r(h)=g(4-h)$ (denn bei maximaler Höhe $4$ reicht der Zylinderboden (der --etwas entartet-- nur ein Punkt ist) bis zur Stelle $0$, hat also den Radius $g(0)$; bei minimaler Höhe $h=0$ ist der Zylinderboden an der Stelle $4$, wo der Radius $g(4)$ ist.)
Nun erhält man die Zielfunktion (wie üblich) durch Einsetzen von $r(h)$ in die Extremalbedingung, erhält so eine Funktion nur in Abhängigkeit von $h$ -- deren Extremum läßt sich nun mittels Kurvendiskussion finden (Randuntersuchungen nicht vergessen).
Hilft dir das schon weiter? Ich meine, ist das vielleicht nicht sogar die Lösung, die dir vorliegt, und hast du sie jetzt verstanden?
--Marc
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