Zusammenhang Momente < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Mo 05.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Nabend! Ich soll die folgenden Zusammenhänge zwischen zentralen und nicht zentralen Momenten zeigen.
(1) $\mu_k(F)=E\left((X-\mu)^k\right)=\sum_{j=0}^{k}(-1)^j\binom{k}{j}\mu^j\cdot \mu_{k-j}'(F)$
(2) $\mu_k'(F)=E\left (X^k\right)=\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}\mu^j\cdot \mu_{k-j}(F)$ |
Also meine Gedanken habe ich mir natürlich schon gemacht, allerdings weiß ich nicht, ob das auch stimmt:
(1)
$(X-\mu)^k=(X+(-\mu))^k=\sum_{j=0}^{k}\left(\binom{k}{j}X^{k-j}(-\mu)^j\right)=\sum_{j=0}^{k}\left(\binom{k}{j}X^{k-j}(-1)^j\mu^j\right)$ [binomischer Lehrsatz]
$\Rightarrow E\left((X-\mu)^k\right)=E\left(\sum_{j=0}^{k}\left[\binom{k}{j}X^{k-j}(-1)^j\mu^j\right]\right)=\sum_{j=0}^{k}\left[E\left((-1)^j\binom{k}{j}\mu^jX^{k-j}\right)\right]$
[Additivität des Erwartungswerts]
Weiter:
$\sum_{j=0}^{k}\left[(-1)^j\binom{k}{j}\mu^jE\left(X^{k-j}\right)\right]=\sum_{j=0}^{k}(-1)^j\binom{k}{j}\mu^j\mu_{k-j}'(F)$
Das sollte man zeigen.
Zu (2) hab' ich mir auch meine Gedanken gemacht, hier das Ergebnis:
$(X-\mu+\mu)^k=\sum_{j=1}^{k}\binom{k}{j}(X-\mu)^{k-j}\mu^{j}$
[binomischer Lehrsatz]
$\mu_k'(F)=E\left(X^k\right)=E\left((X-\mu+\mu)^k\right)=E\left(\sum_{j=1}^{k}\binom{k}{j}(X-\mu)^{k-j}\mu^{j}\right)=\sum_{j=0}^{k}E\left(\binom{k}{j}(X-\mu)^{k-j}\mu^j\right)=\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}\mu^jE\left((X-\mu)^{k-j}\right)$
Und das ist
$\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}\mu^j\cdot \mu_{k-j}(F)$.
So, jetzt hoffe ich, daß ich weitestgehend richtig liege!
Viele Grüße
mikexx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mo 05.12.2011 | | Autor: | luis52 |
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> So, jetzt hoffe ich, daß ich weitestgehend richtig liege!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Mo 05.12.2011 | | Autor: | mikexx |
Das finde ich toll.
Dankeschön!
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