Zentrische Streckung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Fr 11.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
| Aufgabe | In der Ebene $ [mm] \IR^2 [/mm] $ sei Z ein Punkt mit dem Ortsvektor $ [mm] \vec{x}_{z} [/mm] $ und k sei eine positive Zahl. Dnn heißt die Abbildung f eine zentrische Streckung mit dem Zentrum Z und dem Streckfaktor k, wenn für alle $ [mm] \vec{x}\in\IR^2 [/mm] $ gilt:
$ [mm] f(\vec{x})-\vec{x}_{z}=k(\vec{x}-\vec{x}_{z}) [/mm] $
(a) Gegeben ist die zentrische Streckung $ [mm] f_{1} [/mm] $ mit dem Zentrum $ [mm] Z_{1}(3|4) [/mm] $ und dem Streckfaktor $ [mm] k_{1}=3 [/mm] $
Zeigen Sie, dass doe Abbildung $ [mm] f_{1} [/mm] $ durch $ [mm] f_{1}(\vec{x})= \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 }\cdot{}\vec{x} +\vektor{-6 \\ -8} [/mm] $ beschrieben wird
Rechnen sie bezüglich der Abbildung f1 die Koordinaten der Bildpunkte A' und B' der Punkte A(-1|3) und B(4|0)
Zeigen Sie, dass $ [mm] Z_{1} [/mm] $ der einzige Punkt ist, der durch f1 auf sichs elbst abgegebildet wird. |
Ich komm nicht so recht weiter als ich versucht ahbe zu zeigen, dass die erste Abbildung mit f1 beschrieben werden kann.
[mm] f(\vec{x})= k(\vec{x}-\vec{x_{z}})+\vec{x_{z}}
[/mm]
Dann hab ich erstmal alles was ich habe eingesetzt:
[mm] =3(\vec{x}-\vektor{3\\ 4}) [/mm] + [mm] \vektor{3\\ 4}
[/mm]
= [mm] 3\vec{x}-\vektor{9\\ 12}+ \vektor{3\\ 4}
[/mm]
[mm] =3\vec{x}- \vektor{6\\ 8}
[/mm]
Wie komm ich jetzt auf die Matrix [mm] \pmat{3 & 0 \\ 0 & 3 }
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Fr 11.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> In der Ebene [mm]\IR^2[/mm] sei Z ein Punkt mit dem Ortsvektor
> [mm]\vec{x}_{z}[/mm] und k sei eine positive Zahl. Dnn heißt die
> Abbildung f eine zentrische Streckung mit dem Zentrum Z und
> dem Streckfaktor k, wenn für alle [mm]\vec{x}\in\IR^2[/mm] gilt:
>
> [mm]f(\vec{x})-\vec{x}_{z}=k(\vec{x}-\vec{x}_{z})[/mm]
>
>
> (a) Gegeben ist die zentrische Streckung [mm]f_{1}[/mm] mit dem
> Zentrum [mm]Z_{1}(3|4)[/mm] und dem Streckfaktor [mm]k_{1}=3[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass doe Abbildung [mm]f_{1}[/mm] durch [mm]f_{1}(\vec{x})= \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 }\cdot{}\vec{x} +\vektor{-6 \\ -8}[/mm]
> beschrieben wird
>
> Rechnen sie bezüglich der Abbildung f1 die Koordinaten der
> Bildpunkte A' und B' der Punkte A(-1|3) und B(4|0)
>
> Zeigen Sie, dass [mm]Z_{1}[/mm] der einzige Punkt ist, der durch f1
> auf sichs elbst abgegebildet wird.
> Ich komm nicht so recht weiter als ich versucht ahbe zu
> zeigen, dass die erste Abbildung mit f1 beschrieben werden
> kann.
>
> [mm]f(\vec{x})= k(\vec{x}-\vec{x_{z}})+\vec{x_{z}}[/mm]
>
>
> Dann hab ich erstmal alles was ich habe eingesetzt:
>
> [mm]=3(\vec{x}-\vektor{3\\ 4})[/mm] + [mm]\vektor{3\\ 4}[/mm]
> =
> [mm]3\vec{x}-\vektor{9\\ 12}+ \vektor{3\\ 4}[/mm]
> [mm]=3\vec{x}- \vektor{6\\ 8}[/mm]
>
>
> Wie komm ich jetzt auf die Matrix [mm]\pmat{3 & 0 \\ 0 & 3 }[/mm]
[mm]\pmat{3 & 0 \\ 0 & 3 }* \vec{x}=3\vec{x}[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Fr 11.05.2012 | | Autor: | DarkJiN |
$ [mm] \pmat{3 & 0 \\ 0 & 3 }\cdot{} \vec{x}=3\vec{x} [/mm] $
kannst du mir auch erklären wieso? :D
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Hallo,
> [mm]\pmat{3 & 0 \\
0 & 3 }\cdot{} \vec{x}=3\vec{x}[/mm]
>
> kannst du mir auch erklären wieso? :D
[mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 }*\vektor{x_1 \\ x_2}=\vektor{3*x_1+0*x_2 \\ 0*x_1+3*x_2}=\vektor{3*x_1 \\ 3*x_2}=3*\overrightarrow{x}
[/mm]
Man nennt es 'Matrizenmultiplikakation'. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Mo 05.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > [mm]\pmat{3 & 0 \\
0 & 3 }\cdot{} \vec{x}=3\vec{x}[/mm]
> >
> > kannst du mir auch erklären wieso? :D
>
> [mm]\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 }*\vektor{x_1 \\ x_2}=\vektor{3*x_1+0*x_2 \\ 0*x_1+3*x_2}=\vektor{3*x_1 \\ 3*x_2}=3*\overrightarrow{x}[/mm]
>
> Man nennt es 'Matrizenmultiplikakation'.
..... kaka ... ? Na, na...
FRED
>
>
> Gruß, Diophant
>
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