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Zeige: Metrik: Beweis, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Fr 23.09.2011
Autor: GK13

Aufgabe
Zeigen Sie, dass jeder normierte Vektorraum auch ein metrischer Raum ist, indem sie nachweisen, dass durch
d(x,y) := ||x-y|| x,y [mm] \in [/mm] V
eine Metrik auf V definiert wird.

Hey!
Die Aufgabe habe ich zum Teil schon gelöst, aber M3 macht mir Probleme, die Dreiecksungleichung.

Ich fange an mit
||x-y|| + ||y-z|| [mm] \ge [/mm] ||x-z||
Darf ich einfach
||x-y+y-z|| = ||x-z|| setzen?
Im Prinzip ist ja keine bestimmte Norm angegeben,
allerdings würde es mit der Euklidischen Norm z.B. so nicht funktionieren (oder habe ich mich da verrechnet?)
Was also kann ich sonst tun?

        
Bezug
Zeige: Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:14 Fr 23.09.2011
Autor: schachuzipus

Hallo GK13,


> Zeigen Sie, dass jeder normierte Vektorraum auch ein
> metrischer Raum ist, indem sie nachweisen, dass durch
>  d(x,y) := ||x-y|| x,y [mm]\in[/mm] V
>  eine Metrik auf V definiert wird.
>  Hey!
>  Die Aufgabe habe ich zum Teil schon gelöst, aber M3 macht
> mir Probleme, die Dreiecksungleichung.
>  
> Ich fange an mit
>  ||x-y|| + ||y-z|| [mm]\ge[/mm] ||x-z||
>  Darf ich einfach
>  ||x-y+y-z|| = ||x-z|| setzen?

Ja, genau das ist der richtige Ansatz!

>  Im Prinzip ist ja keine bestimmte Norm angegeben,
>  allerdings würde es mit der Euklidischen Norm z.B. so
> nicht funktionieren (oder habe ich mich da verrechnet?)

Setze wie geplant an, dann nutze, dass für die Norm [mm]||\bullet||[/mm] die Dreiecksungl. gilt, also

[mm]d(x,z)=||x-z||=||x-y+y-z||=||\red{(x-y)}+\blue{(y-z)}|| \ \le ||\red{x-y}|| \ + \ ||\blue{y-z}|| \ = \ d(x,y)+d(y,z)[/mm]

Gruß

schachuzipus

>  Was also kann ich sonst tun?


Bezug
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