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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Sa 17.11.2012 | | Autor: | xkyle. |
| Aufgabe | | (i) Für alle n [mm] \in [/mm] IN gilt: 0 + n = n, d.h. jede natürliche Zahl n mit 0 addiert ergibt n. |
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Hier meine Idee:
Beweis: Definiere A:= { n [mm] \in [/mm] IN; 0 + n = n}. Man zeige A = IN. Aus der Menge A ist ersichtlich, dass 0 [mm] \in [/mm] A. Sei nun für alle n [mm] \in [/mm] A auch n + 1 [mm] \in [/mm] A. Man zeige, dass n einen Nachfolger hat, der mit 0 addiert n ergibt. Sei n [mm] \in [/mm] A. n besitzt einen Nachfolger, und zwar n + 1. Es folgt n +1 + 0 = n + 1. Folglich gilt n +1 [mm] \in [/mm] A, da die Menge A alle natürlichen Zahlen enthält, die einen Nachfolger haben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo xkyle,
> (i) Für alle n [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
IN gilt: 0 + n = n, d.h. jede
> natürliche Zahl n mit 0 addiert ergibt n.
Wie habt ihr die Addition auf den natürlichen Zahlen definiert?
> Beweis: Definiere A:= $\{$ n [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
IN; 0 + n = n$\}$. Man zeige A
> = IN.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Der Ansatz sieht gut aus!
> Aus der Menge A ist ersichtlich, dass 0 [mm]\in[/mm] A.
(Warum? Hier gilt es, mit der Definition der Addition zu arbeiten.)
> Sei
> nun für alle n [mm]\in[/mm] A auch n + 1 [mm]\in[/mm] A.
Das sei nicht einfach so, sondern genau das musst du zeigen!
> Man zeige, dass n
> einen Nachfolger hat, der mit 0 addiert n ergibt. Sei n
> [mm]\in[/mm] A. n besitzt einen Nachfolger, und zwar n + 1. Es folgt
> n +1 + 0 = n + 1.
Setze Klammern! Ob das direkt klar ist, hängt von eurer Definition der Addition ab.
> Folglich gilt n +1 [mm]\in[/mm] A,
Habt ihr schon die Kommutativität der Addition bewiesen? Ansonsten ist $(n+1)+0=n+1$ nicht das, was wir benötigen, sondern wir benötigen (unter der Annahme $0+n=n$), dass $0+(n+1)=n+1$ gilt.
> da die Menge A
> alle natürlichen Zahlen enthält, die einen Nachfolger
> haben.
Alle natürlichen Zahlen haben einen Nachfolger. Dass tatsächlich [mm] $A=\IN$ [/mm] gilt, hast du noch nicht bewiesen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:47 So 18.11.2012 | | Autor: | xkyle. |
Vielen Dank Tobias. Ich habs jetzt.
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