X^n + Y^n = Z^{n + 1} < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass es für alle natürlichen Zahlen n unendlich viele Lösungen von [mm] X^n [/mm] + [mm] Y^n [/mm] = [mm] Z^{n + 1} [/mm] in [mm] \IZ [/mm] gibt.
Hinweis: Wählen Sie x und y beliebig in [mm] \IN [/mm] und z = [mm] x^{rn^2} [/mm] + [mm] y^{rn^2}. [/mm] Versuchen Sie es dann mit a = [mm] (xz)^{rn}, [/mm] a = [mm] (yz)^{rn} [/mm] und c = [mm] z^s. [/mm] Allerdings sollten Sie r und s geschickt wählen. |
Hallo,
ich komme hier auf
[mm] a^n [/mm] + [mm] b^n [/mm] = [mm] x^{rn^2}(x^{rn^2} [/mm] + [mm] y^{rn^2})^{rn^2} [/mm] + [mm] y^{rn^2}(x^{rn^2} [/mm] + [mm] y^{rn^2})^{rn^2} [/mm] = [mm] (x^{rn^2} [/mm] + [mm] y^{rn^2})^{rn^2}(x^{rn^2} [/mm] + [mm] y^{rn^2}) [/mm] = [mm] (x^{rn^2} [/mm] + [mm] y^{rn^2})^{rn^2 + 1}
[/mm]
und
[mm] c^{n + 1} [/mm] = [mm] (x^{rn^2} [/mm] + [mm] y^{rn^2})^{s(n + 1)}
[/mm]
Aber wie kann ich r und s geschickt wählen? Oder hab ich irgendwo schon einen Fehler? Wie komme ich weiter?
Gruß und Danke,
Martin
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Alles korrekt. Das Ganze klappt, wenn [mm] rn^2+1=s(n+1) [/mm] ist.
Tipp: setze r=n und rechne s aus (Polynomdivision).
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Das bringt mir s = [mm] n^2 [/mm] - n + 1.
Mal 'ne doofe Frage: Spricht irgendwas dagegen r = [mm] \frac{1}{n} [/mm] und s = 1 zu setzen?
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Ja, das ist eine besonders einfache Lösung.
[mm] z=x^n+y^n
[/mm]
a=xz, b=yz, c=z
Damit ergibt sich [mm] a^n+b^n=x^nz^n+y^nz^n=(x^n+y^n) z^n=z^{n+1}=c^{n+1}.
[/mm]
Aber warum einfach, wenn's auch kompliziert geht...?
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