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Dies ist eine außerschulische Angelegenheit meinerseits.
Ich habe ein wenig mit dem Taschenrechner herumgespielt und herausgefunden, dass
[mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{b}{a^i} [/mm] = b* [mm] \bruch{a}{a-1} [/mm] ist.
Für a größer als 1.
Nun möchte ich dies Beweisen komme aber nicht ganz bis zum Schluss.
Hier meine Umformungen:
[mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{b}{a^i} [/mm] = b* [mm] \bruch{a}{a-1}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{a^i*a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a-1}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{a^i} [/mm] - [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{a^i*a} [/mm] = 1
[mm] \gdw \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{a^i}-\bruch{1}{a^i*a}=1
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{i=0}^{n}\bruch{a-1}{a^i*a}=1
[/mm]
Hier komme ich leider nicht weiter =/.
Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen oder mir einen Fehler aufzeigen.
Danke im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Mi 28.10.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ich habe ein wenig mit dem Taschenrechner herumgespielt
> und herausgefunden, dass
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> [mm]\summe_{i=0}^{n}\bruch{b}{a^i}[/mm] = b* [mm]\bruch{a}{a-1}[/mm] ist.
>
> Für a größer als 1.
Irgendwas kann mit dieser Formel schonmal nicht stimmen, denn die linke Seite hängt zweifellos von n ab, die rechte aber nicht. Meinst du vielleicht den Grenzwert für [mm] $n\to\infty$? [/mm] Das b kannst du auf beiden Seiten auch wegschmeißen (für b=0 ist die Gleichung erfüllt, für [mm] b\ne0 [/mm] kannst du kürzen).
Jedenfalls gibt es für derartige Summen schon ne Formel: [mm] $$\sum_{i=0}^nq^i=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$ [/mm] und die rechte Seite konvergiert für [mm] $q\in\IC$ [/mm] mit [mm]|q|\le 1[/mm] und [mm] $q\not\in\{-1,1\}$ [/mm] gegen [mm] $\frac{1}{1-q}$.
[/mm]
Gruß, Robert
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