Voraussetzungen Fixpunktsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Wimme |
Hallo!
Ich möchte zeigen, dass [mm] \varphi(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{3}+\frac{1}{4}sin(\pi x)cos(\pi [/mm] x) auf dem Intervall [0,1] die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.
1) [0,1] ist offensichtlich abgeschlossen
2) G:=[0,1] [mm] \varphi(G) \subset [/mm] G ist auch relativ leicht zu zeigen
3) Kontraktivität: Ich habe das jetzt über das Maximum der Ableitung in G gemacht, da dieses [mm] \pi/4 [/mm] ist, dürften die Voraussetzungen erfüllt sein.
Kann ich das auch über [mm] |\varphi(x)-\varphi(y)| [/mm] lösen?
Dann komme ich auf
| [mm] \frac{1}{4}(sin(\pi x)cos(\pi [/mm] x) - sin( [mm] \pi y)cos(\pi [/mm] y))|
wie macht man da weiter?
edit: zur Ableitung obiger Funktion:
wieso ist die [mm] \frac{\pi cos(\pix)^2}{2}-\frac{\pi}{4} [/mm] ?
ich erhalte [mm] \frac{1}{4}\pi(cos(\pi x)^2-sin(\pi x)^2)
[/mm]
Und irgendwas mache ich wohl grundlegend falsch, wenn ich denke, dass das gleich [mm] -\frac{1}{4}\pi [/mm] ist...
Danke euch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Fr 05.12.2008 | | Autor: | zetamy |
> Hallo!
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> Ich möchte zeigen, dass [mm]\varphi(x)[/mm] =
> [mm]\frac{1}{3}+\frac{1}{4}sin(\pi x)cos(\pi[/mm] x) auf dem
> Intervall [0,1] die Voraussetzungen des Banachschen
> Fixpunktsatzes erfüllt.
> 1) [0,1] ist offensichtlich abgeschlossen
> 2) G:=[0,1] [mm]\varphi(G) \subset[/mm] G ist auch relativ leicht
> zu zeigen
> 3) Kontraktivität: Ich habe das jetzt über das Maximum der
> Ableitung in G gemacht, da dieses [mm]\pi/4[/mm] ist, dürften die
> Voraussetzungen erfüllt sein.
Wie kommt du auf [mm] $\frac{\pi}{4}$? [/mm] Ich habe [mm] $x_E=\frac{1}{3}$ [/mm] raus.
>
> Kann ich das auch über [mm]|\varphi(x)-\varphi(y)|[/mm] lösen?
> Dann komme ich auf
> | [mm]\frac{1}{4}(sin(\pi x)cos(\pi[/mm] x) - sin( [mm]\pi y)cos(\pi[/mm]
> y))|
> wie macht man da weiter?
Für alle [mm] $x\in [/mm] G$ ist [mm] $sin(\pi x)cos(\pi x)\geq [/mm] 0$ und Sinus/Cosinus sind nach oben durch die 1 beschränkt. Versuch zu zeigen, dass [mm] $\frac{1}{4}(\sin(\pi x)\cos(\pi [/mm] x)) < [mm] \pi [/mm] x$ ist.
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> edit: zur Ableitung obiger Funktion:
> wieso ist die [mm]\frac{\pi cos(\pix)^2}{2}-\frac{\pi}{4}[/mm] ?
> ich erhalte [mm]\frac{1}{4}\pi(cos(\pi x)^2-sin(\pi x)^2)[/mm]
Die beiden Terme sind gleich, denn wegen [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$, [/mm] also [mm] $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$ [/mm] gilt
[mm] $\frac{\pi}{4}\cdot (\cos^2(\pi [/mm] x) - [mm] \sin^2(\pi [/mm] x))= [mm] \frac{\pi}{4}\cdot (\cos^2(\pi [/mm] x) + [mm] \cos^2(\pi [/mm] x) - 1) = [mm] \frac{\pi}{4}\cdot (2\cdot\cos^2(\pi [/mm] x) - 1) = [mm] \frac{\pi}{2}\cos^2(\pi [/mm] x) - [mm] \frac{\pi}{4}$
[/mm]
> Und
> irgendwas mache ich wohl grundlegend falsch, wenn ich
> denke, dass das gleich [mm]-\frac{1}{4}\pi[/mm] ist...
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> Danke euch!
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