Volumenberechnung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | Es sei [mm] $e_j$ [/mm] der j-te Einheitsvektor im d-dimensionalen euklidischen Raum. Berechnen Sie das Volumen der d-dimensionalen Menge
[mm] $E_d :=\left\lbrace \sum_{j=1}^d \alpha_j e_j |\alpha_j \geq 0, ~\sum_{j=1}^d \alpha_j \leq 1 \right\rbrace$ [/mm] |
Hi,
ich weiß nicht, wie ich an so eine Berechnung rangehen soll. Vielleicht kann jemand einen Ansatz liefern?
Danke,
Ole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Mo 02.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hast du dir die Menge mal in [mm] \IR^1, \IR^2, \IR^3 [/mm] klar gemacht?
vielleicht findest du damit ja den Weg zu [mm] \IR^d
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
Hallo Leduart,
danke für den Hinweis. [mm] $E_d$ [/mm] ist, so wie ich das sehe, die Menge aller Vekoren aus [mm] $\IR^d_+ \cup\lbrace [/mm] 0 [mm] \rbrace$, [/mm] deren Komponentensumme [mm] $\leq [/mm] 1$ ist. Im [mm] $\IR^2$ [/mm] wärs z.B. das gleichschenklige Dreieck $(0,0),(1,0),(0,1)$, im [mm] $\IR^3$ [/mm] die entsprechende Pyramide, etc.
Das "Volumen" von [mm] $E_2$ [/mm] ist ja dann [mm] $V_2 [/mm] = g [mm] \cdot [/mm] h [mm] \cdot \frac{1}{2}$, [/mm] wobei [mm] $g=V_1$ [/mm] (die strecke von 0 nach 1) und $h=1$ die Länge vom Nullpunkt bis zum "Punkt in der neuen Dimension", also [mm] $V_2=\frac12$. [/mm]
Genauso kann ich ja sagen:
[mm] $V_3=\frac13 \cdot [/mm] G [mm] \cdot h=\frac16$
[/mm]
mit [mm] $G=V_2$ [/mm] und $h=1$.
Dann kann ich doch allgemein annehmen, dass
[mm] $V_n=V_{n-1} \cdot \frac1n =\frac{1}{n!}$
[/mm]
und das mit Induktion zeigen?
Wär doch zu einfach oder?
lg, Ole
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> Hallo Leduart,
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> danke für den Hinweis. [mm]E_d[/mm] ist, so wie ich das sehe, die
> Menge aller Vekoren aus [mm]\IR^d_+ \cup\lbrace 0 \rbrace[/mm],
> deren Komponentensumme [mm]\leq 1[/mm] ist. Im [mm]\IR^2[/mm] wärs z.B. das
> gleichschenklige Dreieck [mm](0,0),(1,0),(0,1)[/mm], im [mm]\IR^3[/mm] die
> entsprechende Pyramide, etc.
>
> Das "Volumen" von [mm]E_2[/mm] ist ja dann [mm]V_2 = g \cdot h \cdot \frac{1}{2}[/mm],
> wobei [mm]g=V_1[/mm] (die strecke von 0 nach 1) und [mm]h=1[/mm] die Länge
> vom Nullpunkt bis zum "Punkt in der neuen Dimension", also
> [mm]V_2=\frac12[/mm].
>
> Genauso kann ich ja sagen:
> [mm]V_3=\frac13 \cdot G \cdot h=\frac16[/mm]
> mit [mm]G=V_2[/mm] und [mm]h=1[/mm].
>
> Dann kann ich doch allgemein annehmen, dass
> [mm]V_n=V_{n-1} \cdot \frac1n =\frac{1}{n!}[/mm]
> und das mit
> Induktion zeigen?
>
> Wär doch zu einfach oder?
>
> lg, Ole
Hallo Ole,
es soll ja hie und da noch einfache Fragen geben...
Allerdings hast du vielleicht einen Punkt doch
übersehen: Für einen Induktionsbeweis kannst
du die Gleichung
[mm]V_n=V_{n-1} \cdot \frac1n [/mm]
nicht einfach "annehmen", sondern müsstest sie
begründen (wohl durch eine Integration !)
Gruß al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 04.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich habs nicht ausprobiert: möglicherweise funktioniert Induktion mit Hilfe des Prinzips von Cavalieri.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Jepp, [mm] Vol(E_d)=\bruch{1}{d!} [/mm] ist richtig.
Für den Beweis musste ne Induktion machen, wobei du zwischendurch auf jeden Fall Integrieren musst (das Prinzip von Cavalieri ist ja eigentlich in dieser Integration enthalten).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
Danke für die Tipps!
Nur mit dem Prinzip von Cavalieri bin ich mir nicht sicher. Also ich behaupte
[mm] $V_d= \lambda^d(E_d)= \lambda^{d-1}(E_{d-1}) \cdot \frac1d$
[/mm]
wobei [mm] $\lambda^k$ [/mm] das Lebesgue-Maß in [mm] $\IR^k$ [/mm] ist.
Ok, ich weiß [mm] $E_d$ [/mm] ist messbar, dann ist nach Cavalieri auch die Menge [mm] $A_{d-1} :=\lbrace x\in \IR^{d-1} [/mm] | [mm] (x,x_{d}) \in E_d\rbrace$ [/mm] messbar für fast alle [mm] $x_d \in \IR$ [/mm] und es gilt:
[mm] $\lambda^d(E_d)=\int_{\IR} \lambda^{d-1}(A_{d-1})dx$
[/mm]
Wie komm ich jetzt darauf, dass dieses Integral gerade gleich [mm] $\lambda^{d-1}(E_{d-1})\cdot\frac1d$ [/mm] ist???
Hier hakts bei mir,
lg, Ole
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Lustigerweise finde ich zu jeder zweiten Frage hier im Forum mit Google die Lösung ^^
![[]](/images/popup.gif) Link
Seite 74 unten
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> Danke für die Tipps!
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> Nur mit dem Prinzip von Cavalieri bin ich mir nicht sicher.
> Also ich behaupte
> [mm]V_d= \lambda^d(E_d)= \lambda^{d-1}(E_{d-1}) \cdot \frac1d[/mm]
>
> wobei [mm]\lambda^k[/mm] das Lebesgue-Maß in [mm]\IR^k[/mm] ist.
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> Ok, ich weiß [mm]E_d[/mm] ist messbar, dann ist nach Cavalieri auch
> die Menge [mm]A_{d-1} :=\lbrace x\in \IR^{d-1} | (x,x_{d}) \in E_d\rbrace[/mm]
> messbar für fast alle [mm]x_d \in \IR[/mm] und es gilt:
> [mm]\lambda^d(E_d)=\int_{\IR} \lambda^{d-1}(A_{d-1})dx[/mm]
>
> Wie komm ich jetzt darauf, dass dieses Integral gerade
> gleich [mm]\lambda^{d-1}(E_{d-1})\cdot\frac1d[/mm] ist???
>
> Hier hakts bei mir,
>
> lg, Ole
Hallo Ole,
ich habe versucht, mir die Integration recht einfach
zurechtzulegen:
[mm] E_1 [/mm] ist die Strecke von x=0 bis x=1 auf der x-Achse
mit dem (eindimensionalen) Volumen [mm] V_1 [/mm] = 1.
[mm] E_2 [/mm] ist das gleichschenklige Dreieck mit den
Ecken (0/0), (1/0), (0/1) in der x-y-Ebene.
Jeder zur x-Achse parallele Schnitt mit [mm] 0\le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1
hat mit [mm] E_2 [/mm] eine eindim. Strecke der Länge [mm] V_1*(1-y)
[/mm]
gemeinsam.
Die Integration für [mm] V_2 [/mm] ergibt also:
[mm]V_2 = \integral_{0}^{1}{V_1*(1-y)\ dy} = V_1 * \bruch{1}{2}[/mm]
[mm] E_2 [/mm] ist die Grundfläche der Pyramide [mm] E_3,
[/mm]
jeder ebene Schnitt auf konstanter Höhe z [mm] (0\le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1)
schneidet [mm] E_3 [/mm] in einem Dreieck, das zu [mm] E_2 [/mm] ähnlich
ist, aber (1-z)-fache lineare Ausdehnungen und darum
[mm] (1-z)^2-faches [/mm] "2-Volumen" hat. Es folgt:
[mm]V_3 = \integral_{0}^{1}{V_2*(1-z)^2\ dz} = V_2 * \bruch{1}{3}[/mm]
Diese Überlegungen lassen sich analog in höhere
Dimensionen übertragen.
(das ist im Prinzip nichts anderes, als was in der von
Merle23 angegebenen Quelle zu lesen ist, nur vielleicht
etwas einfacher dargestellt...)
LG al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Danke für eure Hilfe!
jetzt hab ich noch folgende Überlegung :
Man könnte doch die Fragestellung auf Simplexe mit beliebiger Seitenlänge erweitern, also Mengen
$\left \lbrace x \in \IR^n :~x=a_0 + \sum_{i=1}^n t_i(a_i -a_0) , ~t_i\leq 0 ,~\sum_{i=1}^n t_i \leq 1 \right\rbrace$
Kann man das Volumen dieses n-dimensionalen Simplex evt. über den Einheitssimplex berechnen?
Ich kann Koordinatentransformation nicht besonders gut, aber das müsste doch klappen oder? Wie?
lg, Ole
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> Danke für eure Hilfe!
>
> jetzt hab ich noch folgende Überlegung :
>
> Man könnte doch die Fragestellung auf Simplexe mit
> beliebiger Seitenlänge erweitern, also Mengen
>
> [mm]\left \lbrace x \in \IR^n :~x=a_0 + \sum_{i=1}^n t_i(a_i -a_0) , ~t_i\leq 0 ,~\sum_{i=1}^n t_i \leq 1 \right\rbrace[/mm]
>
> Kann man das Volumen dieses n-dimensionalen Simplex evt.
> über den Einheitssimplex berechnen?
>
> Ich kann Koordinatentransformation nicht besonders gut,
> aber das müsste doch klappen oder? Wie?
>
> lg, Ole
Gute Frage, insbesondere im Hinblick auf Koordinatentransformation.
Falls das Simplex an einer Ecke [mm] V_0 [/mm] lauter rechte Winkel hat, wie die
vorherigen Einheitssimplexe, verändert sich das Volumen einfach
proportional zu den Kantenlängen der Kanten, welche von [mm] V_0
[/mm]
ausstrahlen.
Falls diese Rechtwinkligkeit nicht gegeben ist, gibt die Determinante
der Transformationsmatrix den Faktor an, in welchem Volumina
verändert werden.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
Hi,
ich bräuchte dafür doch eine [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix A oder? Dann wäre meine Trafo
[mm] $\phi:\IR^n\rightarrow\IR^n,~~x\mapsto [/mm] Ax [mm] +a_0$
[/mm]
Wie sieht jetzt diese Matrix aus? Sei [mm] $e_0$ [/mm] der Nullvektor in [mm] $\IR^n$, [/mm] dann kann ich doch meinen Einheitssimplex auch so schreiben:
[mm] $\left\lbrace x\in\IR^n:~x=e_0 + \sum_{i=1}^n t_i (e_i-e_0),~t_i\leq 1,~\sum_{i=1}^n t_i\leq 1\right\rbrace$
[/mm]
Dann sollte meine Transformationsmatrix doch so aussehen:
[mm] $A=\begin{pmatrix} a_1-a_0 & 0 &...&0 \\0 & a_2-a_0&...&0 \\
...&...&...&....\\
0&...&{} & a_n-a_0 \end{pmatrix}$
[/mm]
Demnach müsste das Volumen des allgemeinen Simplex [mm] $\frac{1}{d!} \cdot \det [/mm] (A)$ sein, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ich weiss nicht was du mit dem Nullvektor willst.
Wenn du beliebige Seitenlängen/Winkel haben willst, dann schreibste einfach deinen Simplex mit den neuen Basisvektoren [mm] b_1,...,b_d, [/mm] also [mm]\Delta_d = \{\summe_{i=1}^{d}\alpha_i b_i : \alpha_i > 0 \wedge \summe_{i=1}^{d}\alpha_i\le1\}[/mm].
Das Volumen davon wäre [mm] \bruch{1}{n!}*det(M_e^b), [/mm] wobei [mm] M_e^b [/mm] die Transformationsmatrix von den Basisvektoren [mm] e_i [/mm] zu [mm] b_i [/mm] ist.
Das ist eine Anwendung des Transformationssatzes.
Das einzige was du noch machen musst ist die Basisvektoren entsprechend zu wählen, je nachdem wie du dein Simplex haben willst.
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