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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 So 11.11.2007 | | Autor: | Tobias2k |
| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollst¨andiger Induktion, dass für alle [mm] n\varepsilon\IN, n\ge2 [/mm] gilt.
[mm] \produkt_{k=2}^{n}=(1-\bruch{1}{k^{2}})=\bruch{n+1}{2n}
[/mm]
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Nun mein Ansatz wie ich es schreiben würde:
Wir wollen nun die Behauptung:
[mm] B(n):\produkt_{k=2}^{n}(1-\bruch{1}{k^{2}})=\bruch{n+1}{2n} [/mm] für [mm] n\ge2
[/mm]
mit Hilfe der vollständigen Induktion zeigen.
1. IA:
[mm] B(2):\produkt_{k=2}^{2}(1-\bruch{1}{k^{2}})=\bruch{2+1}{2*4} [/mm] ist offenbar wahr, da
[mm] \produkt_{k=2}^{2}(1-\bruch{1}{k^{2}})=1-\bruch{1}{2^{2}}=\bruch{3}{4}
[/mm]
und
[mm] \bruch{2+1}{2*2}=\bruch{3}{4}
[/mm]
2. IS: Wir müssen zeigen, dass aus der Ivor.
[mm] B(n):\produkt_{k=2}^{n}(1-\bruch{1}{k^{2}})=\bruch{n+1}{2n}
[/mm]
die IBeh.
[mm] B(n+1):\produkt_{k=2}^{n+1}(1-\bruch{1}{k^{2}})=\bruch{(n+1)+1}{2(n+1)}
[/mm]
folgt. Dazu schließen wir
[mm] \produkt_{k=2}^{n+1}(1-\bruch{1}{k^{2}})=(\produkt_{k=2}^{n}(1-\bruch{1}{k^{2}}))*(1-\bruch{1}{(n+1)^{2}})
[/mm]
[mm] =\bruch{n+1}{2n}*(1-\bruch{1}{(n+1)^{2}})
[/mm]
Glaube ich habe den fehler gefunden sekunde
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Tobias,
> Beweisen Sie mittels vollst¨andiger Induktion, dass für
> alle [mm]n\varepsilon\IN, n\ge2[/mm] gilt.
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> [mm]\produkt_{k=2}^{n}=(1-\bruch{1}{k^{2}})=\bruch{n+1}{2n}[/mm]
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> Nun mein Ansatz wie ich es schreiben würde:
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> Wir wollen nun die Behauptung:
>
> [mm]B(n):\produkt_{k=2}^{n}(1-\bruch{1}{k^{2}})=\bruch{n+1}{2n}[/mm]
> für [mm]n\ge2[/mm]
>
> mit Hilfe der vollständigen Induktion zeigen.
>
> 1. IA:
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> [mm]B(2):\produkt_{k=2}^{2}(1-\bruch{1}{k^{2}})=\bruch{2+1}{2*4}[/mm]
> ist offenbar wahr, da
>
> [mm]\produkt_{k=2}^{2}(1-\bruch{1}{k^{2}})=1-\bruch{1}{2^{2}}=\bruch{3}{4}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\bruch{2+1}{2*2}=\bruch{3}{4}[/mm]
>
> 2. IS: Wir müssen zeigen, dass aus der Ivor.
>
> [mm]B(n):\produkt_{k=2}^{n}(1-\bruch{1}{k^{2}})=\bruch{n+1}{2n}[/mm]
>
> die IBeh.
>
> [mm]B(n+1):\produkt_{k=2}^{n+1}(1-\bruch{1}{k^{2}})=\bruch{(n+1)+1}{2(n+1)}[/mm]
>
> folgt. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Dazu schließen wir
>
> [mm]\produkt_{k=2}^{n+1}(1-\bruch{1}{k^{2}})=(\produkt_{k=2}^{n}(1-\bruch{1}{k^{2}}))*(1-\bruch{1}{(n+1)^{2}})[/mm]
>
> [mm]=\bruch{n+1}{2n}*(1-\bruch{1}{(n+1)^{2}})[/mm]
>
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> Glaube ich habe den fehler gefunden sekunde
Ah, ok, du hast es just selbst gesehen 
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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