Verteilungs- Funktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:04 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Eine Verteilungsfunktion F sei durch F(x):= P [mm] ((-\infty,x]), [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] definiert, wobei P ein beliebiges Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] \IR [/mm] ist. Zeigen Sie, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] F(x) = 1
und
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} [/mm] F(x) = 0 |
Hallo an alle,
wäre nett wenn ihr mal schauen könntet ob das so einigermaßen richtig ist. Vielen, vielen Dank schonmal im Voraus.
Also:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] F(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} P((-\infty,x]) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} P((-\infty,0]) [/mm] + P([0,x]) = [mm] P((-\infty,0]) [/mm] + [mm] P([0,\infty)) [/mm] = [mm] P((-\infty,0]) [/mm] + [mm] P((-\infty,\infty)) [/mm] - [mm] P((-\infty,0)) [/mm] = 1
da sich das Intervall [mm] [0,\infty] [/mm] darstellen lässt als [mm] (-\infty,\infty) [/mm] \ [mm] (-\infty,0).
[/mm]
Zum Zweiten:
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} [/mm] F(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} P((-\infty,X]) =\limes_{x\rightarrow -\infty} P((-\infty,0]) [/mm] - P([x,0]) [mm] =P((-\infty,0]) -P((-\infty,0]) [/mm] = 0
Ist das soweit in Ordnung?
Viele Grüße!
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Huhu,
du musst das nicht auseinandernehmen und umgehst damit nur dein eigentliches Problem.
Ausserdem begründet du immer noch nicht, wieso du den Grenzwert reinziehen darfst.
Tip: Wenn du nicht einmal was mit Stetigkeit von oben / von unten begründet hast, ist es nicht sauber aufgeschrieben 
Und Differenzbildung von Mengen brauchst du auch nicht, nur Vereinigungen und Schnitt.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Ultio |
Hallo, danke dir.
Ich glaube jetzt hab ich's:
[mm] \limes_{x\rightarrow - \infty} [/mm] F(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow - \infty} [/mm] P((- [mm] \infty [/mm] , x]) = (1) = P [mm] (\bigcap_{x \le 0} [/mm] (- [mm] \infty [/mm] , x]) = P [mm] (\emptyset) [/mm] = 0
mit (1)
P [mm] (\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i) [/mm] = [mm] \limes_{i\rightarrow - \infty} P(A_i)
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow \infty} [/mm] F(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow \infty} [/mm] P((- [mm] \infty [/mm] , x]) = (2) = P [mm] (\bigcup_{x \ge 0} [/mm] (- [mm] \infty [/mm] , x]) = P [mm] (\Omega) [/mm] = 1
mit (2)
P [mm] (\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) [/mm] = [mm] \limes_{i\rightarrow - \infty} P(A_i)
[/mm]
Ist das soweit in Ordnung? Habe mir das Skript nochmal vorgenommen und müsste das nicht so sein?
Dankeschön.
Gruß
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Huhum
> Hallo, danke dir.
> Ich glaube jetzt hab ich's:
die Idee hast du auf alle Fälle jetzt verstanden
> [mm]\limes_{x\rightarrow - \infty}[/mm] F(x) = [mm]\limes_{x\rightarrow - \infty}[/mm]
> P((- [mm]\infty[/mm] , x]) = (1) = P [mm](\bigcap_{x \le 0}[/mm] (- [mm]\infty[/mm] ,
> x]) = P [mm](\emptyset)[/mm] = 0
Eine Anmerkungen vorweg: Verweise wie bei dir auf die (1) kann man machen mit \overbrace{=}^{(1)}. Das ergibt dann: [mm] \overbrace{=}^{(1)}
[/mm]
Nun zum Problem des sauberen Aufschreibens: Was ist [mm] \bigcap_{x \le 0} [/mm] ? Rein technisch wäre das ein Überabzählbarer Schnitt und dafür ist die [mm] \sigma-Stetigkeit [/mm] nicht definiert!
Du brauchst hier also einen abzählbaren Schnitt.
Wie kriegst du den?
Hier benötigst du wirklich mal die Definition von [mm] $\lim_{x\to\infty}$.
[/mm]
Das ist ja eigentlich nur eine Kurzschreibweise und lässt sich zurückführen auf einen Grenzwert [mm] \lim_{n\to\infty}, [/mm] den du dann in einen abzählbaren Schnitt umwandeln kannst.
Ebenso beim zweiten!
> Ist das soweit in Ordnung? Habe mir das Skript nochmal
> vorgenommen und müsste das nicht so sein?
Also die richtige Idee hast du schon, jetzt muss man es nur noch sauber aufschreiben 
MFG,
Gono.
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