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| Aufgabe | Es sei U [mm] \subset \IC [/mm] offen und [mm] \alpha_{n}=f_{n}dx+g_{n}dy \in \Omega^{1}(U), [/mm] wobei [mm] f_{n} [/mm] und [mm] g_{n} [/mm] kompakt konvergent sind mit Grenzfunktion f und g. Begründen Sie warum [mm] \integral_{\gamma}{\alpha} [/mm] mit [mm] \alpha=fdx+gdy [/mm] existiert und zeigen Sie:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{\gamma}{\alpha_{n}}=\integral_{\gamma}{\alpha} [/mm] |
Hallo liebes Matheforum,
ich bräuchte zur obiger Aufgabe eure Hilfe.
Zunächst soll ja einmal begründet werden, warum [mm] \integral_{\gamma}{\alpha} [/mm] mit [mm] \alpha=fdx+gdy [/mm] existiert:
Reicht es hier zu sagen, dass Integral existiert, da [mm] f_{n} [/mm] und [mm] g_{n} [/mm] kompakt konvergent sind?
Dann soll man folgendes zeigen: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{\gamma}{\alpha_{n}}=\integral_{\gamma}{\alpha}
[/mm]
Wenn [mm] f_{n} [/mm] und [mm] g_{n} [/mm] gleichmäßig konvergieren, dann kann man Integral und limes vertauschen. Da [mm] f_{n} [/mm] und [mm] g_{n} [/mm] kompakt konvergent sind, sind [mm] f_{n} [/mm] und [mm] g_{n} [/mm] lokal gleichmäßig konvergent? Wenn ja, folgt dann schon das, was zu zeigen ist?
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Mi 25.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei U [mm]\subset \IC[/mm] offen und [mm]\alpha_{n}=f_{n}dx+g_{n}dy \in \Omega^{1}(U),[/mm]
> wobei [mm]f_{n}[/mm] und [mm]g_{n}[/mm] kompakt konvergent sind mit
> Grenzfunktion f und g. Begründen Sie warum
> [mm]\integral_{\gamma}{\alpha}[/mm] mit [mm]\alpha=fdx+gdy[/mm] existiert und
> zeigen Sie:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{\gamma}{\alpha_{n}}=\integral_{\gamma}{\alpha}[/mm]
>
> Hallo liebes Matheforum,
>
> ich bräuchte zur obiger Aufgabe eure Hilfe.
>
> Zunächst soll ja einmal begründet werden, warum
> [mm]\integral_{\gamma}{\alpha}[/mm] mit [mm]\alpha=fdx+gdy[/mm] existiert:
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> Reicht es hier zu sagen, dass Integral existiert, da [mm]f_{n}[/mm]
> und [mm]g_{n}[/mm] kompakt konvergent sind?
Welche "gutartigen" Eigenschaften haben denn [mm] f_n [/mm] und [mm] g_n, [/mm] die durch kompakte Konvergenz auf f und g übertragen werden ? Gemeint sind natürlich Eigenschaften, die die Ex. des Integrals sichern.
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> Dann soll man folgendes zeigen: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{\gamma}{\alpha_{n}}=\integral_{\gamma}{\alpha}[/mm]
>
> Wenn [mm]f_{n}[/mm] und [mm]g_{n}[/mm] gleichmäßig konvergieren, dann kann
> man Integral und limes vertauschen. Da [mm]f_{n}[/mm] und [mm]g_{n}[/mm]
> kompakt konvergent sind, sind [mm]f_{n}[/mm] und [mm]g_{n}[/mm] lokal
> gleichmäßig konvergent?
Ja
FRED
> Wenn ja, folgt dann schon das,
> was zu zeigen ist?
>
> Beste Grüße
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