Verallg. logistische Gleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Fr 11.05.2007 | | Autor: | achso |
| Aufgabe | Für x [mm] \in \mathbb{R} [/mm] lautet die verallgemeinerte logistische Gleichung
(1) y'(x) = y(x) [mm] \cdot [/mm] (b(x) - c(x) y(x))
mit stetigen, positiven Funktionen x [mm] \in \mathbb{R} \mapsto [/mm] b(x),c(x).
Zeigen Sie: Sind u,v positive Lösungen von (1) auf einem gemeinsamen Existenzintervall I mit [mm] u(x_0) [/mm] < [mm] v(x_0) [/mm] für ein [mm] x_0 \in [/mm] I, so ist u<v auf ganz I. |
Hallo,
es ist (beinahe) wieder Wochenende und ich verzweifle wieder an der letzten Übungsaufgabe :(
Leider kann ich keinen vielversprechenden Ansatz anbieten, wäre deshalb schon für kleine Hinweise dankbar.
Mein erster Versuch war:
[mm] u(x_0) [/mm] = [mm] \int (u(x_0)b(x_0) [/mm] - [mm] u^2(x_0) c(x_0)) [/mm] dx < [mm] \int (v(x_0)b(x_0) [/mm] - [mm] v^2(x_0) c(x_0)) [/mm] dx = [mm] v(x_0)
[/mm]
Das hat mich jedoch nicht weitergebracht.
Dann dachte ich, man könnte vielleicht zeigen, daß u'<v' überall gilt. Aber das muß ja nicht sein - zumindest konnte ich es nicht zeigen.
Und jetzt sind mir nach mehreren, noch erfolgloseren Versuchen die Ideen ausgegangen.
Ich würde mich freuen falls jemand einen guten Hinweis für mich hat.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
hast du vielleicht mal versucht zu Zeigen, dass die Lösung der DGl nur bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist, daraus folgt ja deine Behauptung.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Fr 11.05.2007 | | Autor: | achso |
Hallo,
ich habe tatsächlich bereits die allg. Lösung der Dgl. bestimmt.
Tja, da gibts keine Ausreden, ich war einfach nur blind!
Vielen Dank.
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