Varianz und Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Do 23.11.2006 | | Autor: | Kyrill |
| Aufgabe | a)Es sei X eine reelwertige Zufallsgröße mit existierendem Erwartungswert. Zeigen Sie: V(X) = 0 [mm] \gdw [/mm] P(X=E(X) = 1
b)Geben Sie ein Beispiel für eine Zufallsgröße X mit existierendem Erwartungswert aber [mm] V(X)=\infty [/mm] |
Hallo!!!
Die erst Aufagabe habe ich glaube ich gelöst. und zwar so:
Sei [mm] B_{n}={|X-EX|>\bruch{1}{n}}
[/mm]
für n=1,2,3,.... gilt [mm] |X-EX|>\bruch{1}{n}, [/mm] dann erst recht auch für [mm] \bruch{1}{n+1}\Rightarrow [/mm] die Menge ist monoton wachsend.
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}P(B_{n})= [/mm] P(B) mit
[mm] B=\bigcup_{n=0}^{\infty} B_{n}={|X-EX|>0}
[/mm]
Mit Tschebyscheff und V(X)=0 folgt:
[mm] 0\leP(B_{n}=\len²*V(X)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow P(B)=\limes_{n\rightarrow\infty}P(B_{n}=0
[/mm]
Mit [mm] \overline{B} [/mm] als Komplementereigniss erhält man:
[mm] P(\overline{B})=P(|X-EX|=0) [/mm] = P(X=EX)
[mm] \Rightarrow P(\overline{B})=1-P(B)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] P(X=EX)=1
Bei der 2. Aufgabe finde ich leider keinen Ansatz....
Bin für Hilfe offen!
Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Do 23.11.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo Kyrill,
Betrachte die Verteilung mit Dichte [mm] $f(x)=2/x^3$ [/mm] fuer $x>1$ und $f(x)=0$
sonst.
hth
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