Urbilder von Normalteilern < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sind Urbilder von Normalteilern unter Homomorphismen wieder Normalteiler? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MC, Antwort "Ja". Eigentlich klar, da den normalen Elementen eindeutig Elemente im Urbild zugewiesen werden könne, denen nichts anderes übrig bleibt als normal zu sein. Aber kann man das auch mathematisch machen a la:
Sei [mm] $\varphi:G\longrightarrow [/mm] H$ ein Gruppenhomomorphismus, $N$ normal in $H$, also
[mm] $hNh^{-1}\in [/mm] N [mm] \gdw \varphi^{-1}(hNh^{-1})\in\varphi^{-1}(N)$...
[/mm]
Aber da drehe ich mich irgendwie im Kreis...!!?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Di 04.07.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo Jochen,
sei [mm] $\varphi:G\rightarrow [/mm] H$ ein Gruppenhomomorphismus und $N$ ein Normalteiler in $H$. Sei $N'$ sein Urbild in $G$. dann gilt für alle [mm] $g\in [/mm] G$:
[mm] $\varphi(gN'g^{-1})=\varphi(g)N\varphi(g)^{-1}=N$, [/mm] d.h. [mm] gN'g^{-1} [/mm] wird nach $N$ abgebildet, muss also in [mm] $\varphi^{-1}(N)=N'$ [/mm] liegen. Also ist $N'$ ein Normalteiler in $G$.
Viele Grüße,
Jan
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Super, Danke. Hast Du Algebra als Schwerpunkt oder warum kannst Du das alles immer so schnell?!? Für mich als "Angewandten" ist das immer recht schwer so kreativ zu sein, obwohl die Antworten meist recht einfach sind und man sich jedes Mal denkt "darauf hätte ich auch kommen können"...:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 04.07.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hi Jochen,
ja, ich habe vor, mich in Algebra zu vertiefen. Stehe aber noch sehr am Anfang. Ich versuche, möglichst viele Übungsaufgaben aus Büchern und so zu machen, das hilft sehr dabei, alles richtig zu verstehen.
Viele Grüße,
Jan
PS: Achtung, angewandte Mathematiker sind nicht weit entfernt von den abgewandten Mathematikern... 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Fr 05.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin zusammen,
> Hallo Jochen,
> sei [mm]\varphi:G\rightarrow H[/mm] ein Gruppenhomomorphismus und [mm]N[/mm]
> ein Normalteiler in [mm]H[/mm]. Sei [mm]N'[/mm] sein Urbild in [mm]G[/mm]. dann gilt
> für alle [mm]g\in G[/mm]:
>
> [mm]\varphi(gN'g^{-1})=\varphi(g)N\varphi(g)^{-1}=N[/mm], d.h.
> [mm]gN'g^{-1}[/mm] wird nach [mm]N[/mm] abgebildet, muss also in
> [mm]\varphi^{-1}(N)=N'[/mm] liegen. Also ist [mm]N'[/mm] ein Normalteiler in
> [mm]G[/mm].
der Beweis ist nicht ganz korrekt, da [mm] $\varphi(N')$ [/mm] eine echte Teilmenge von $N$ sein kann. Fuer eine moegliche Korrektur siehe hier.
LG Felix
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