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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Sei V der [mm] \IR [/mm] Vektorraum [mm] Abb([0,1],\IR) [/mm] und sein [mm] W_1,W_2\Subset [/mm] V die Teilmengen:
[mm] W_1=\{f:[0,1]\to \IR: f(0)=f(1)\}
[/mm]
[mm] W_2=\{f:[0,1]\to \IR: f(0)=f(1)+1\}
[/mm]
Welche von den Teilmengen [mm] W_1,W_2 [/mm] sind Untervektorräume von V ?
[mm] \fbox{Defintion(UVR)}:
[/mm]
Sei V ein K-Vektorraum und [mm] U\subseteq [/mm] V mit [mm] U\not=\emptyset. [/mm] Wir nennen U einen Untervektorraum von V, wenn [mm] \forall u_1,u_2 \in [/mm] U und [mm] \lambda \in [/mm] K gilt:
1) [mm] u_1+u_2\in [/mm] U
2) [mm] \lambda u_1\in [/mm] U |
So ganz komme ich noch nicht mit der Aufgabe zurecht, da ich die Mengen [mm] W_1,W_2 [/mm] etwas komisch finde.
Also der Vektorraum V besteht aus allen [mm] Abb([0,1],\IR).
[/mm]
[mm] W_1 [/mm] besteht aber nur aus den Funktionen mit der Eigenschaft:
[mm] f:[0,1]\to \IR: [/mm] f(0)=f(1).
Also sind z.B. alle Konstanten c, in [mm] W_1 [/mm] enthalten.
Da [mm] c\in W_1 [/mm] ist, gilt [mm] W_1\not=\emptyset.
[/mm]
Eigenschaft 1)
[mm] u_1\in W_1 [/mm] wäre dann ja eben eine Funktion [mm] f_1:[0,1]\to \IR: f_1(0)=f_1(1)
[/mm]
und [mm] u_2\in W_1 [/mm] ne Funktion [mm] f_2:[0,1]\to \IR: f_2(0)=f_2(1), [/mm] zusammen allso
[mm] u_1+u_2= f_1(x)+f_2(x) [/mm] mit [mm] x\in [/mm] [0,1]
Da für [mm] f_1(x) [/mm] gilt: [mm] f_1(0)=f_1(1), [/mm] und für [mm] f_2: f_2(0)=f_2(1), [/mm] ist natürlich auch:
[mm] (f_1(0)+f_2(0)) =(f_1(1)+f_2(1))\in W_1
[/mm]
Und somit Eigenschaft 1 erfüllt ? (Das kommt mir doch etwas komisch vor :D)
2) Sei [mm] \lambda \in \IR [/mm] und [mm] u_1\in W_1, [/mm] dann gilt
für [mm] f_1(x)\in W_1 [/mm] und [mm] x\in [/mm] [0,1],
dass für [mm] \lambda f_1(x) [/mm] mit [mm] f_1(0)=f_1(1) \Rightarrow \lambda f_1(0)=\lambda f_1(1)\in W_1. [/mm]
Also ist [mm] W_1 [/mm] ein UVR von V.
Nach obigen Überlegungen wäre dann [mm] W_2 [/mm] kein UVR von V.
Ist das so korrekt oder total für die Tonne ?
Mfg. Der Joker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Mo 11.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei V der [mm]\IR[/mm] Vektorraum [mm]Abb([0,1],\IR)[/mm] und sein
> [mm]W_1,W_2\Subset[/mm] V die Teilmengen:
>
> [mm]W_1=\{f:[0,1]\to \IR: f(0)=f(1)\}[/mm]
> [mm]W_2=\{f:[0,1]\to \IR: f(0)=f(1)+1\}[/mm]
>
> Welche von den Teilmengen [mm]W_1,W_2[/mm] sind Untervektorräume
> von V ?
>
> [mm]\fbox{Defintion(UVR)}:[/mm]
>
> Sei V ein K-Vektorraum und [mm]U\subseteq[/mm] V mit
> [mm]U\not=\emptyset.[/mm] Wir nennen U einen Untervektorraum von V,
> wenn [mm]\forall u_1,u_2 \in[/mm] U und [mm]\lambda \in[/mm] K gilt:
>
> 1) [mm]u_1+u_2\in[/mm] U
> 2) [mm]\lambda u_1\in[/mm] U
> So ganz komme ich noch nicht mit der Aufgabe zurecht, da
> ich die Mengen [mm]W_1,W_2[/mm] etwas komisch finde.
>
> Also der Vektorraum V besteht aus allen [mm]Abb([0,1],\IR).[/mm]
>
> [mm]W_1[/mm] besteht aber nur aus den Funktionen mit der
> Eigenschaft:
> [mm]f:[0,1]\to \IR:[/mm] f(0)=f(1).
>
> Also sind z.B. alle Konstanten c, in [mm]W_1[/mm] enthalten.
>
> Da [mm]c\in W_1[/mm] ist, gilt [mm]W_1\not=\emptyset.[/mm]
>
> Eigenschaft 1)
>
> [mm]u_1\in W_1[/mm] wäre dann ja eben eine Funktion [mm]f_1:[0,1]\to \IR: f_1(0)=f_1(1)[/mm]
>
> und [mm]u_2\in W_1[/mm] ne Funktion [mm]f_2:[0,1]\to \IR: f_2(0)=f_2(1),[/mm]
> zusammen allso
>
> [mm]u_1+u_2= f_1(x)+f_2(x)[/mm] mit [mm]x\in[/mm] [0,1]
>
> Da für [mm]f_1(x)[/mm] gilt: [mm]f_1(0)=f_1(1),[/mm] und für [mm]f_2: f_2(0)=f_2(1),[/mm]
> ist natürlich auch:
>
> [mm](f_1(0)+f_2(0)) =(f_1(1)+f_2(1))\in W_1[/mm]
>
> Und somit Eigenschaft 1 erfüllt ?
Ja, aber die Art wie Du das aufschreibst ist nicht O.K
Seien [mm] f_1,f_2 \in W_2. [/mm] Wir setzen [mm] g:=f_1+f_2.
[/mm]
Dann ist [mm] g(0)=f_1(0)+f_2(0)=f_1(1)+f_2(1)=g(1). [/mm] Damit ist g [mm] \in W_1.
[/mm]
> (Das kommt mir doch
> etwas komisch vor :D)
>
> 2) Sei [mm]\lambda \in \IR[/mm] und [mm]u_1\in W_1,[/mm] dann gilt
>
> für [mm]f_1(x)\in W_1[/mm] und [mm]x\in[/mm] [0,1],
>
> dass für [mm]\lambda f_1(x)[/mm] mit [mm]f_1(0)=f_1(1) \Rightarrow \lambda f_1(0)=\lambda f_1(1)\in W_1.[/mm]
Auch hier ist Dei Aufschrieb katastrophal.
>
> Also ist [mm]W_1[/mm] ein UVR von V.
ja, so ist es.
>
> Nach obigen Überlegungen wäre dann [mm]W_2[/mm] kein UVR von V.
Das stimmt, aber warum ist [mm] W_2 [/mm] kein UVR von V ?????
FRED
>
> Ist das so korrekt oder total für die Tonne ?
>
> Mfg. Der Joker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Do 14.11.2013 | | Autor: | Joker08 |
> > Sei V der [mm]\IR[/mm] Vektorraum [mm]Abb([0,1],\IR)[/mm] und sein
> > [mm]W_1,W_2\Subset[/mm] V die Teilmengen:
> >
> > [mm]W_1=\{f:[0,1]\to \IR: f(0)=f(1)\}[/mm]
> > [mm]W_2=\{f:[0,1]\to \IR: f(0)=f(1)+1\}[/mm]
>
> >
> > Welche von den Teilmengen [mm]W_1,W_2[/mm] sind Untervektorräume
> > von V ?
> >
> > [mm]\fbox{Defintion(UVR)}:[/mm]
> >
> > Sei V ein K-Vektorraum und [mm]U\subseteq[/mm] V mit
> > [mm]U\not=\emptyset.[/mm] Wir nennen U einen Untervektorraum von V,
> > wenn [mm]\forall u_1,u_2 \in[/mm] U und [mm]\lambda \in[/mm] K gilt:
> >
> > 1) [mm]u_1+u_2\in[/mm] U
> > 2) [mm]\lambda u_1\in[/mm] U
> > So ganz komme ich noch nicht mit der Aufgabe zurecht,
> da
> > ich die Mengen [mm]W_1,W_2[/mm] etwas komisch finde.
> >
> > Also der Vektorraum V besteht aus allen [mm]Abb([0,1],\IR).[/mm]
> >
> > [mm]W_1[/mm] besteht aber nur aus den Funktionen mit der
> > Eigenschaft:
> > [mm]f:[0,1]\to \IR:[/mm] f(0)=f(1).
> >
> > Also sind z.B. alle Konstanten c, in [mm]W_1[/mm] enthalten.
> >
> > Da [mm]c\in W_1[/mm] ist, gilt [mm]W_1\not=\emptyset.[/mm]
> >
> > Eigenschaft 1)
> >
> > [mm]u_1\in W_1[/mm] wäre dann ja eben eine Funktion [mm]f_1:[0,1]\to \IR: f_1(0)=f_1(1)[/mm]
>
> >
> > und [mm]u_2\in W_1[/mm] ne Funktion [mm]f_2:[0,1]\to \IR: f_2(0)=f_2(1),[/mm]
> > zusammen allso
> >
> > [mm]u_1+u_2= f_1(x)+f_2(x)[/mm] mit [mm]x\in[/mm] [0,1]
> >
> > Da für [mm]f_1(x)[/mm] gilt: [mm]f_1(0)=f_1(1),[/mm] und für [mm]f_2: f_2(0)=f_2(1),[/mm]
> > ist natürlich auch:
> >
> > [mm](f_1(0)+f_2(0)) =(f_1(1)+f_2(1))\in W_1[/mm]
>
>
> >
> > Und somit Eigenschaft 1 erfüllt ?
>
>
> Ja, aber die Art wie Du das aufschreibst ist nicht O.K
>
> Seien [mm]f_1,f_2 \in W_2.[/mm] Wir setzen [mm]g:=f_1+f_2.[/mm]
>
> Dann ist [mm]g(0)=f_1(0)+f_2(0)=f_1(1)+f_2(1)=g(1).[/mm] Damit ist g
> [mm]\in W_1.[/mm]
>
>
>
> > (Das kommt mir doch
> > etwas komisch vor :D)
> >
> > 2) Sei [mm]\lambda \in \IR[/mm] und [mm]u_1\in W_1,[/mm] dann gilt
> >
> > für [mm]f_1(x)\in W_1[/mm] und [mm]x\in[/mm] [0,1],
> >
> > dass für [mm]\lambda f_1(x)[/mm] mit [mm]f_1(0)=f_1(1) \Rightarrow \lambda f_1(0)=\lambda f_1(1)\in W_1.[/mm]
>
> Auch hier ist Dei Aufschrieb katastrophal.
> >
> > Also ist [mm]W_1[/mm] ein UVR von V.
>
> ja, so ist es.
>
>
> >
> > Nach obigen Überlegungen wäre dann [mm]W_2[/mm] kein UVR von V.
>
> Das stimmt, aber warum ist [mm]W_2[/mm] kein UVR von V ?????
>
> FRED
Wenn wir [mm] g:f_1+f_2 [/mm] definieren, dann gilt für [mm] f_1,f_2\in[/mm] [mm]W_2[/mm]
[mm] g(0)=f_1(0)+f_2(0)=f_1(1)+1+f_2(1)+1=f_1(1)+f_2(1)+2=g(1)+2\not\in W_2
[/mm]
Also ist [mm] W_2 [/mm] kein UVR.
mfg. Der Joker
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