Unterraum IR³ < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Do 22.10.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Ist dies ein Unterraum des IR³:
Alle Vektoren [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] mit [mm] x_1 \le x_2 \le x_3 [/mm] ? |
Hallo Zusammen,
damit dies ein Unterraum U des IR³ ist, müssen folgende Bedingungen gelten:
Nullvektor: 0 [mm] \in [/mm] U
Addition: u, v [mm] \in [/mm] U mit u+v [mm] \in [/mm] U
Multiplikation: [mm] \lambda \in \IR, [/mm] v [mm] \in [/mm] U mit [mm] \lambda [/mm] v [mm] \in [/mm] U
1, Aufgrund der Bedingung [mm] x_1 \le x_2 \le x_3 [/mm] können die Komponenten des Vektors auch alle Null sein, bzw. mit Null multipliziert werden: Somit 0 [mm] \in [/mm] U
2, [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ x_3+y_3 \end{pmatrix}
[/mm]
Bedingung [mm] x_1 \le x_2 \le x_3 [/mm] und [mm] y_1 \le y_2 \le y_3 [/mm] gilt auch für [mm] x_1+y_1 \le x_2+y_2 \le x_3+y_3
[/mm]
3, [mm] \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ \lambda x_2 \\ \lambda x_3 \end{pmatrix}
[/mm]
Für [mm] \lambda \in \IR_+ [/mm] : [mm] x_1 \le x_2 \le x_3
[/mm]
Für [mm] \lambda \in \IR_- [/mm] : - [mm] x_1 \ge [/mm] - [mm] x_2 \ge x_3
[/mm]
gelten beide Bedingungen.
Somit gelten alle drei Bedingungen und dies ist ein Unterraum des IR³.
Stimmt dies so alles?
Gruß
itse
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